2.3　常用的统计分析方法
——相似度计算

我们从上一节的内容上可以看到，不同目标行之间由于其属性的不同，画出的散点图也是千差万别的，而对于数据处理来说，不同的属性需要一个统一的度量进行计算，即需要对其相似度进行计算。

相似度的计算方法很多，这里选用常用的两种，即欧几里得相似度计算和余弦相似度计算。

2.3.1　欧几里得相似度计算

欧几里得距离（Euclidean Distance）是常用的计算距离的公式，用来表示三维空间中两个点之间的真实距离，即绝对距离。

欧几里得相似度计算是一种基于物品或用户之间直线距离的计算方式。在相似度计算中，可以将不同的物品或者用户定义为不同的坐标点，而特定目标定位于坐标原点。欧几里得距离的公式如下：

从公式中可以看到，作为计算结果的欧氏值显示的是两点之间的直线距离，该值的大小表示两个物品或者用户差异性的大小，即用户的相似性如何。如果两个物品或者用户距离越大，则其相似度越小；距离越小，则相似度越大。

提示： 由于在欧几里得相似度计算中，最终数值的大小与相似度成反比，因此在实际中常常使用欧几里得距离的倒数作为相似度值，即1/ d +1作为近似值。

参看一个常用的用户－物品推荐评分表的例子，如表2.3所示。

表2.3是3个用户对物品的打分表，如果需要计算用户1和其他用户之间的相似度，通过欧几里得距离公式可以得出：

从上可以看到，用户1和用户2的相似度为1.414。而用户1和用户3的相似度是：

从得到的计算值可以看出，d ₁₂ 分值大于d ₁₃ 的分值，因此可以得到用户2更加相似于用户1。

2.3.2　余弦相似度计算

与欧几里得距离相类似，余弦相似度也将特定目标（物品或者用户）作为坐标上的点，但不是坐标原点，与特定的被计算目标进行夹角计算。具体如图2.7所示。

从图2.7中可以很明显地看出，两条直线分别从坐标原点出发，引出一定的角度。如果两个目标较为相似，则两条射线形成的夹角较小；如果两个用户不相近，则两条射线形成的夹角较大。因此，在使用余弦度量的相似度计算中，可以用夹角的大小来反映目标之间的相似性。余弦相似度的计算公式如下：

从公式可以看到，余弦值一般在[-1,1]，而这个值的大小同时与余弦夹角的大小成正比。如果用余弦相似度来计算表2.3中用户1和用户2之间的相似性，则结果如下：

而用户1和用户3的相似性如下：

从计算结果可得，相对于用户3，用户2与用户1更为相似。

2.3.3　欧几里得相似度与余弦相似度的比较

欧几里得相似度是以目标绝对距离作为衡量的标准，而余弦相似度是以目标差异的大小作为衡量标准，其表述如图2.8所示。

从图2.8中可以看到，欧几里得相似度注重目标之间的差异，与目标在空间中的位置直接相关。余弦相似度是不同目标在空间中的夹角，更加表现在前进趋势上的差异。

欧几里得相似度和余弦相似度具有不同的计算方法和描述特征。一般来说欧几里得相似度用以表现不同目标的绝对差异性，从而分析目标之间的相似度与差异情况。余弦相似度更多的是对目标从方向趋势上进行区分，对特定坐标数字不敏感。

提示： 举例来说，2个目标在2个用户之间的评分分别是（1,1）和（5,5），这2个评分在表述上是一样的。但是在分析用户相似度时，更多的是使用欧几里得相似度而不是余弦相似度对其进行计算。余弦相似度更好地区分了用户分离状态。