均匀球体的引力可否等效到球心？
——推导球坐标系的体积微元

在第三部分《大气中氢气含量为何低？》这一节中，我们推导了麦克斯韦速度分布，在推导过程中，理想气体的各向同性表明速度分布只与速率有关，这也说明麦克斯韦速度分布也可以化为速率分布。我们知道速率为0时正好对应速度为0，反之亦然。但麦克斯韦速度分布在速度为0时取得最大值，而速率分布在速率为0时则取到最小值，这是违反直觉的。为了解决这个矛盾，我们将详细推导球坐标系体积元的表达式。

一旦有了球坐标系体积元的表达式，我们就可以在球坐标系下做积分运算了。读者在中学计算空间站绕地球运动的时候，是否想过空间站受的地球引力为何都是用空间站与地球中心的距离进行计算的？毕竟我们当时学习的牛顿万有引力公式只适用于两个质点之间的引力，空间站受的引力应该是地球各个点对它的引力的总和，而空间站到地球各点的距离不都相同，所以直接将地球等效于一个集中在球心的质点来计算万有引力并不是一件显然的事情。我们将利用球坐标系以及它的体积元表达式证明中学时候的计算方法是正确的——均匀球体的引力确实可以等效到球心。

一、区别与联系：麦克斯韦速度分布与速率分布

我们先来看一下麦克斯韦速度分布的推导。要重点强调理想气体的各向同性，表明速度分布只与速率有关。依据三个垂直方向上速度分布的独立性，可以将总的速度分布函数分解为各个方向上速度分布函数的乘积。之后取对数，将乘积化为求和的形式，再对某一速度分量求偏导。结合一些简单的变换，就可以用分离变量法解出各方向上的速度分布，进而回过头来，得到完整的三维速度分布：

可以看到速度分布 关于速度的依赖是通过速度的组合 进行的，即速度分布可以写成只依赖于速率 的函数，但遗憾的是这个函数并不能被称为速率分布，至于原因就要从分布的定义说起了。速度分布 的意思为，在速度区间 、 、 内的粒子数密度为 ，同理，设速率分布为 ，则在速率区间 内的粒子数密度为 。可以发现速度分布对应的是单位速度区间的粒子数密度，而速率分布是单位速率区间的粒子数密度，由于是不同自变量的区间，对应的区间体积也不一样，所以直接变量代换，将速度分布的自变量换成速率还不够，还需要考虑区间的变换。这节课之后将会求出球坐标系的体积元的表达式，现在先利用此表达式得到速度球坐标系中的体积元为：

其中 是速度对应的速率，而 θ 和 是描写速度方向的角度坐标。那么根据速度分布的定义，我们可知在此体积元内的所有粒子数为 ，进一步将所有方向都积分起来，得到在速率区间 内的粒子数为：

由于速度分布函数 只与速率 有关，并且利用简单的微积分知识可以计算得到 ，最终得到速率分布函数的表达式：

上式速率分布显示，粒子速率趋于0时，粒子数密度趋于0，同时取得最小值。然而，速度分布却显示，粒子的速度趋于0时，粒子数密度取到最大值。而正是球坐标系的体积元贡献的 项导致了这个看似矛盾的结果。区间对应的体积元越大，可以直观地认为此区间所含有的状态数越多，那么此区间对应的粒子数就越多，而速率区间的体积元随 的减小以 的方式减小，最终当速率趋于0的时候，速率区间包含的状态数趋于0，那么处在此区间的粒子数也就趋于0，即此时速率分布趋于0。

那么上面用到的球坐标系体积元的表达式又是如何得到的呢？接下来我们具体建立坐标系来推导球坐标系的体积元。

二、几何与变换：球坐标系的体积微元

如上图所示，在直角坐标系上建立球坐标系，将坐标系中的点（图中蓝色）与坐标原点连接起来，球坐标 r 为此连线的长度，球坐标 θ 是连线与 z 轴的夹角，球坐标 φ 则是连线在 xy 平面的投影与 x 轴的夹角，这样直角坐标系的点 就可以用球坐标 表示。接着我们推导球坐标体积元的表达式，保持图中蓝色点的坐标 r 与 φ 不变，给坐标 θ 做一个微小的变化d θ ，那么蓝色的点将会沿着图中与d θ 对应的橙色箭头方向移动微小的距离 ；同样地，保持图中蓝色点的坐标 r 与 θ 不变，给坐标 φ 做一个微小的变化 ，那么蓝色的点将会沿着图中与 对应的橙色箭头方向移动微小的距离 ；最后保持图中蓝色点的坐标 θ 与 φ 不变，给坐标 r 做一个微小的变化 dr ，那么蓝色的点将会朝着图中沿着径向指向外的橙色箭头方向移动微小的距离d r 。由图可知， 对应的橙色箭头平行于 xy 平面，而 dθ 与d r 对应的橙色箭头在蓝色点与 z 轴形成的平面内，该平面垂直于 xy 平面，除此之外， 对应的橙色箭头还垂直于蓝色点与原点之连线在 xy 平面的投影。根据简单的几何知识，可知 对应的橙色箭头垂直于蓝色点与 z 轴形成的平面，即 对应的橙色箭头同时垂直于d θ 与 dr 对应的橙色箭头。另外，d θ 对应的橙色箭头垂直于蓝色点到原点的连线，而 dr 对应的橙色箭头则平行于该连线，所以d θ 与 dr 对应的橙色箭头互相垂直。综上所述，图中三个橙色箭头互相垂直，即 dr 、d θ 与 引起的蓝色点的变化方向互相垂直，那么将它们引起的蓝色点移动的微小距离 dr 、 与 相乘，就得到球坐标区间 、 、 对应的体积元：

在直角坐标系里，体积微元是dxdydz；将积分变量从直角坐标系变换到球坐标系后，就可以将直角坐标的体积微元换成 再继续积分。当然，类似地，反过来从球坐标到直角坐标也是可以进行变换的。

将 x , , 换成速度 , , ，同理，速度区间所示的体积微元 对应到球坐标系里的体积微元就是 ，其中 是速率，这就得到了前面我们从麦克斯韦速度分布推导出速率分布时所使用的最关键公式。

三、分割、换元、组合、等效：计算均匀球体的引力

作为球坐标系的一个典型应用，现在计算质量为 m 的质点与半径为 r 的球壳之间的引力，其中质点与球心的距离为 R 。其他具体参数如下图所示：

设球壳密度为 ，那么根据前面球坐标体积元的表达式，可以得到半径为 r 的球壳上的小体积元质量为 ，其与质点的距离设为 ，那么根据牛顿万有引力公式，小体积元作用于质点的引力为 。由于整个系统绕质点与球心连线是旋转对称的，所以质点受到球壳整体的引力是指向球心的，由矢量力的叠加原理可知，我们只需要考虑小体积元引力在质点与球心连线上的投影即可，设质点到小体积元的连线与质点到球心的连线的夹角为 α ，则半径为 r 的球壳整体作用在质点 m 上的总引力为：

（1）

其中第二个等号利用了变量代换 以及上图中的几何关系 。接下来需要进一步将积分求解出来。如果我们选取 为积分变量，就需要将 x 与 表示为 的函数，但这样积分会变得比较难，故尝试选取其他参量作为积分变量。注意到 可由角度 θ 所在的直角三角形的边长表示为：

（2）

将式（2）代入式（1），得到变量代换后的作用在质点 m 上的引力表达式为：

（3）

现在只剩下 x 与 两个参量，只要将其中一个表示成另一个，就可以做积分。我们这里选择将 x 用 表示出来，最终全部化成对 的积分。为了完成此目的，注意到上图中包含 θ 的直角三角形与包含 α 的直角三角形共用一条直角边，根据直角三角形勾股定理可以得到：

利用此公式可以将 x 表示为：

（4）

最后将 x 与 的关系式（4）代入积分公式（3）中，并完成对 的积分后得到：

注意到球壳的质量为 ， R 是质点到球壳的距离，从上述引力的公式可以发现，质点 m 与球壳的引力可以等效地看成是球壳所有质量集中在球心的引力。那么将球壳按照 r 积分起来，就得到半径为 的球体作用在质点 m 上的引力：

其中 正是半径为 球体的总质量。可以发现，质点与球体的引力也可以等效地把球体质量看成集中在球心，并且即使球体密度与径向距离有关，也不影响此结论。球体在宇宙学里是普遍存在的形状，可以利用这个结论方便简易地得到其万有引力，所以这个结论具有非常重要的意义。

小结

由于理想气体的各向同性，麦克斯韦速度分布可以化为速率分布，但由于单位速率区间对应的三维速度空间体积不再是单位1，所以直接将速度分布函数中的三维速度换成速率并不能得到速率分布，还需要考虑速率区间与速度区间的体积元的对应关系，这也能解释为什么速度分布在速度趋于0的时候取得最大值，而速率分布却取到最小值。为了得到速率区间的体积元，我们仔细推导出了球坐标系的体积元表达式。球坐标系的体积元除了能把速度分布化为速率分布，还能使我们在球坐标系下进行积分运算，作为一个重要应用例子，我们在球坐标系下计算了球壳对质点的引力，发现球壳对质点的引力可以等效地看成是球壳所有质量集中在球心的引力。而密度至多只随半径变化的球体，等价于不同半径球壳的集合，它对质点的引力也可以等效地把球体质量看成集中在球心。宇宙中很多物体具有球形结构，所以万有引力的这个特殊性质对于我们计算宇宙中物体之间的万有引力有非常大的帮助，例如它马上可以告诉我们，中学时期计算空间站或地球表面人受到地球的引力的方法是正确的。值得一提的是，我们在对球壳引力进行积分的时候，根据几何关系巧妙地选取了积分变量，因而将原先复杂的积分化简成了非常简易的多项式的积分，从而直接得出引力的表达式。 Vi7Cb2stK4XKaR3JfVVIPlH6N+bLmxh+Oc02isan76IlY5LWEd457VMEoK1RKDad