琴弦的频率该怎么调？
——推导并求解琴弦的波动方程

相信读者们对波这个概念并不陌生，比如声波、电磁波，或者平时就能直接看到的水波。波主要可以分成两类：横波和纵波。如果质点振动方向和波传播方向垂直，那这个波就是横波；如果振动方向和波的传播方向平行，那这个波是纵波。电磁波是横波，声波是纵波。水波虽然看起来质点振动方向和波的传播方向垂直，但是实际上水面质点做的是一个复杂的运动，所以水波不属于横波也不属于纵波。

接下来我们介绍绷紧的弦在外力拉离平衡位置后的振动，在合理的近似下我们会得到一个波动方程，并发现弦的振动可以写成两个反向传播的波的叠加。进一步，我们介绍怎么求解弦的波动方程，得到弦的频率公式，从而了解到有哪些因素会影响到弦的频率。

一、从琴弦开始认识波动方程

我们先来推导琴弦的运动方程。在这里，我们忽略重力的影响，假设弦的两端被固定住，弦在没有外力作用时处于平衡位置，呈绷紧的直线状。假设琴弦上的微元只能沿垂直平衡位置的同一个方向振动，这样就把三维问题简化成了二维问题，只需要建立平面坐标系即可。为此，我们以琴弦的平衡位置建立 x 轴，琴弦的振动方向为 u 轴。弦在某一时刻 t 的位置用 描述，它表示弦对平衡位置的偏离。

回忆牛顿力学，我们前面处理的大多数情况都是质点的运动，琴弦并不能被简单地看成质点，我们该怎么处理呢？实际上，我们应该把琴弦上各个微元看成质点，然后对这些质点列出它们的运动方程。设琴弦在初始位置的质量线密度为 ц ，我们考虑在区间 上的微元的运动。因为我们忽略了重力，所以这部分微元只受到琴弦自身张力的作用。

琴弦的张力是怎么样的呢？首先，琴弦的张力沿着琴弦的切线方向，不过可以将张力分解成 x 方向和 u 方向两部分的叠加。然后，我们需要求出各处张力的大小。根据我们的假设，琴弦的质量微元只沿 u 轴方向偏离平衡位置，所以这些质量微元在 x 方向没有运动，所以张力在 x 方向的分量处处相等，设这个分量大小为 T 。琴弦的质量微元只沿 u 方向运动，为了得到它们的运动方程，我们需要知道 u 方向的张力大小。我们知道张力方向和琴弦切线方向相同，那么我们可以根据 T 使用正切函数求出张力的 u 分量，而弦的切线倾角的正切值刚好等于 ，所以 u 方向的张力为：

于是，在区间 上的质量微元，所受 u 方向的张力为：

区间 上的微元的质量为 ，加速度等于 。利用牛顿第二定律，我们有：

（1）

根据我们前面的分析， T 为常数，不依赖于 x 。对等式右边的偏导数做关于 x 的泰勒展开：

其中 表示关于 的高阶小量。将上式代入式（1），然后消去一个 ，之后让 趋向于0。注意当 趋向于0时， 也趋向于0。令 ，最后我们得到：

这就是琴弦的波动方程，是一个偏微分方程。我们可以把它改写为：

也可以改写为：

因此，只要 满足 或者 ，就必定满足原来的波动方程。容易知道，方程 的解的形式为 ，方程 的解的形式为 。考虑到琴弦的波动方程是一个线性方程，因此这两种形式的解的叠加依然是原来波动方程的解。这样我们就得到了波动方程的解的一种形式：

进一步的偏微分方程分析可以表明，琴弦波动方程的任何解都可以写成上述形式。因此，上述形式是琴弦波动方程的通解。

我们需要进一步分析上述通解的物理意义是什么。以其中的 为例，假如函数 的最大值点在 处，那么在 t 时刻， 的最大值点在 处，也就是 处。可见，最大值点以速度向右运动。这个分析不仅对 的最大值点成立，对其函数图像上的任意点都成立，这是因为 和 只相差一个沿 x 轴的平移。换言之， 表示以速度 向 x 正方向传播的波。同理， 表示以速度 v 向 x 负方向传播的波。 所代表的波和 所代表的波传播方向相反。

经过这一番解释，波动方程的通解的物理意义就清晰明了了。琴弦波动方程的任何解都可以看成是两个传播方向不同的波的叠加。虽然两个波的传播方向不同，但是它们的传播速度相等，都是 。

二、分离变量“大显神通”，简化琴弦波动方程

在这里，我们借助分离变量法给大家介绍如何得到琴弦波动方程的一些特解。有读者可能会疑惑，前面我们不是已经求出通解了吗，为什么还关心特解？这是因为前面求出的通解含有两个未知函数，在实际应用中还需要进一步求解这两个未知函数，所以不是很便捷。而且，很多时候我们需要分析波的频率，而前面介绍的通解在进行傅里叶变换之前我们是不知道它的频率信息的。更进一步的原因是，前面求解波动方程通解的方法只适用于一维波动方程，而我们接下来介绍的分离变量法不仅适用于一维波动方程，还适用于高维波动方程以及其他形式的偏微分方程。

所谓分离变量法，本质上是找方程的各个变量“可分离”的解，也就是说，可以表示为 的解 u(x,t) 。将 代入波动方程，求导展开之后再除以 可以得到：

我们观察上式，等号左边是关于 t 的函数，等号右边是关于 x 的函数，因此要想两边相等，它们必须等于同一个常数，设此常数为 ，其中 α 为非负实数。在这里我们要说明一下，为什么假设是 而不是 呢？原因是多方面的。一方面，如果假设两边常数是正的，那么将会求解得到实指数形式的解；考虑到弦的两端是固定的，所以 u 在端点的值只能是0，满足这个要求的实指数解只能是常数0；另一方面，这里的求解过程是先求出一部分特解，然后再检验这部分特解能否组合成满足要求的所有解，因此我们在求特解时暂时不需要考虑得那么全面。

基于这个常数 ，可以得到：

这种形式的方程我们在求解谐振子的时候处理过，它们的通解由正弦函数和余弦函数组合而成。为了突出分离变量法的基本原理，我们选取一种特殊情况来分析：假如将琴弦拉离平衡位置后松手，求解这根弦的振动形式。整个问题严格表述起来就是，求解波动方程满足边值 ，且初速度为0的解。这里的 α 是琴弦静平衡时的长度。上述两个方程的通解都可以写成余弦和正弦的线性组合：

由于 ，所以 ，也就是 ，所以 内只能保留正弦部分；弦的初始速度等于0，所以 ，也就是 ，所以 内只能保留余弦部分：

上式暂时忽略了正弦和余弦前面的系数。注意，这样的解只是满足了初始速度等于0和在 处弦固定在原点的条件，还有一个条件不一定会满足，那就是 。这个条件对应到分离变量形式下的条件为 ，考虑到正弦函数的零点分布，可以知道 ，也就是 ，其中 n 为正整数。所以， α 不能任意取值。要想满足边界条件的话， α 只能取特定的离散值。把 α 的取值代入，我们有：

这里已经给 补上了系数。

第一眼看去，这个解并不能写成反向传播的两个波的叠加。但是，如果用公式：

立即就能将 化成反向传播的两个波的叠加。

由于波动方程是齐次线性的，特解的线性组合依然是方程的解。那么，是否所有满足边界条件和初速度为0的解都可以由这一组特解线性组合出来呢？这就需要用到傅里叶级数了。对于满足条件的任何解 ，在 时 是一个满足 的连续函数，因此可以展开为由 组成的傅里叶级数，系数是 ：

根据牛顿力学，力学运动的解由初始条件决定，因此初始时刻等于 并且初速度为0（当然，还需要边值等于0）的解是唯一的，所以必然有：

如果上式两端不相等，那就存在两个满足要求的解了，这是违反牛顿力学的。于是，所有满足边值条件和初速度为0的解都可以由这一组特解线性组合出来。

接下来我们考虑特解 的频率。对于每一个固定的 x ，对应质点的位移距离正比于 ，所以这个质点的运动为简谐振动，圆频率为：

对于频率 f ，由于 ，所以：

根据这个公式，当需要将乐器里琴弦的频率调高时，就要拉紧琴弦，增大它的张力 T 。而如果琴弦比较重，也就是它的质量线密度 ц 比较大，根据牛顿第二定律，这样的弦很难振动得快，所以频率会比较低，这样的直观理解也与刚刚推导出来的结果相符。

小结

我们在这里推导并求解了琴弦的波动方程，其中求解波动方程时使用了两种方法：一种方法很像因子分解，可以求出它的通解；另一种是分离变量法。从分离变量法我们容易得到琴弦的频率，并由此知道了哪些因素会影响到它的频率。经过简单的计算，我们就理解了为什么想要调高琴弦频率时需要拉紧琴弦。所以，边计算边学习，有助于我们理解很多身边的现象。 GaN9ohiTANc1bzL0qNuoIuv+F58LjAm4PupZRPH2h+oN24F8jzH2W1OC4IYuFAOo