微波炉为什么能加热食物？
——振动方程和共振现象

微波炉加热食物的原理是什么？桥梁受到一定频率的扰动会怎么样？这些问题都和我们的生活息息相关。本节，我们将从基本的简谐振动开始，了解它的求解方法和一般特性，然后使用类似方法求解受迫振动方程，进而说明共振为什么会发生。相信读者们在此之前已经或多或少地了解过共振现象，在这里我们将会从实际计算出发去理解共振发生的原因，并由我们得到的结果解释微波加热原理。最后，我们考虑单摆运动。我们将会了解到单摆振动和谐振子的不同之处，以及单摆方程在什么情况下可以近似为谐振子方程。

一、谐振子的振动方程

在中学的时候，我们学习过理想弹簧的力为：

其中 k 是弹簧的劲度系数， x 是弹簧形变长度。如果我们把弹簧不形变时看作平衡状态，那么 x 就是偏离平衡位置的距离。考虑一个质量为 m 的质点，仅在弹簧的作用下运动，这样的模型我们称为谐振子。

谐振子在物理上的应用非常广泛，这是因为很多小幅振动都可以近似为谐振子或者多个谐振子。自然界中的物体处于稳定平衡时一般都对应着势能的极小值点。以一维情况为例，假设势能 在 处取得极小值，那么 在 处的导数为0，并且二阶导数值大于或等于0。在这里我们考虑一般情况： ，那么在原点附近，势能可以近似为：

上式中的 只反映了势能零点的约定，和物理过程无关，因此可以忽略。势能的梯度的负值等于物体受到的力，因此物体在原点附近受到的力为：

这个力和弹簧的力形式上是一样的。因此，当物体在平衡位置做小幅振动时，可以看成是谐振子。

接下来我们计算谐振子的运动情况，这需要用到牛顿第二定律。谐振子的运动方程为：

为了简化方程，我们定义 ，于是上式可以改写为：

（1）

对于这种方程，可以通过“猜测”得到它的解。 x 的二阶导数正比于 x 本身，有哪些函数满足这个性质呢？我们想一想，幂函数求导之后次数会降低，因此不可能等于它自身。对数函数求导之后会变成幂函数，因此也可以排除掉。但是这样排除函数效率很低，我们应该从另一个角度入手。从物理直观上来说，质点在弹簧作用下应该不断振动，所以 的函数图像也应该不断上下波动，这就自然而然地想到了正弦函数。我们计算一下正弦函数的导数：

所以谐振子的解可以由正弦函数构造出来。解的形式为：

当然，使用余弦函数来构造也是可以的，不过余弦函数本质上是正弦函数沿着坐标轴的平移，而上式中的 已经包含了这样的平移，因此用余弦函数构造不会带来新的解。

实际上，对于谐振子的振动，物理学里经常使用复指数表示法。复指数形式和三角函数形式可以通过著名的欧拉公式联系在一起：

可以看到，复指数函数的实部和虚部都可以描述物理世界中的振动。更重要的是，指数函数的导数等于自身的常数倍：

后面我们会看到指数函数的这个性质能为我们带来巨大的帮助。于是，我们选择复指数函数来描述谐振子的运动：

其中 ω 为未知常数， 为实数， x 的实部代表物理世界的谐振子振动，是一个余弦函数。余弦函数最大值为1，所以 是这个振动的振幅。将上式代入式（1），可得：

可见复指数函数使得求导运算变成了代数运算，这能大大简化方程的求解。解出 ω ，有：

上式中取 也是可以的，不会影响物理结果。于是振动方程的解为：

其中 x ₀ 是谐振子的初始位置。这是最简单的振动过程的解，质点只受到恢复力的作用。这样的振动会保持恒定的振幅 ，并且振动频率就等于 。因此， 被称为它的固有频率。

二、当谐振子受到固定频率的外力影响时

前面考虑的是质点只受弹簧恢复力的情况，如果有一个幅度为 的周期性的外力作用在质点上面呢？设这个力的振动角频率为 ω ，那么质点的运动方程可以写为：

（2）

这里，我们从物理角度求解这个方程。假如质点一开始是静止的，根据我们的生活经验，在这样的周期力的作用下，质点也会做角频率同为 ω 的振动。于是可以假设方程的解为：

在这里我们要注意一点， ω 等于周期外力的角频率，是已知量，那么我们要求解的是什么量呢？虽然上式的假设解在形式上与前面没有周期外力的情况时的假设解一样，但是没有周期外力时，振动方程是齐次线性方程，振幅 是任意的，角频率 ω 是待求的未知数；而在有周期外力的情况下， ω 是已知的，等于周期外力的角频率，振动方程不再是齐次方程。如果 是一个解，那么 一般不再是解，因此 不能任意取值，它成了待求的未知数。在这个指引下，将假设的解代入振动方程可得：

从中解出 ，我们得到：

所以，受周期外力的振动解为：

由于原来的方程［见式（2）］是一个非齐次线性方程，上式的解是一个特解，因此通解是上式的解和 的叠加。不过，由于实际的谐振子都会带有阻力， 的这一部分运动最终会由于阻力而衰减掉，而上式中的运动由于有周期外力所带来的持续能量输入，最终会稳定在一个特定的幅度上而不会衰减掉。这就是我们可以忽略通解中 部分的物理原因。

三、极性分子随电磁波共振：微波炉的加热原理

对于刚刚得到的解，这里我们结合实际的物理过程解释一下。

比如人在荡秋千，假如坐在秋千上的人自己不用力，而是由站在秋千外的人来回推着荡起来，这种情况就可以近似为秋千受到周期性外力的作用。后面会介绍秋千有一个固有频率 。通过前面的推导结果可以看到，当推力的频率很接近固有频率时，振动的幅度会变得非常大。这就是共振。

如果 ω 刚好等于 呢？粗略地看，似乎振幅会无穷大，然而实际上并非如此。这是因为前面使用的方程都是小振幅下的近似结果。当 时，振幅确实会变得很大，同时也会带来显著的耗散效应和非线性效应，这些效应会制约振幅的无限增大。同时，在这样的状态下物体的结构一般会受到严重的破坏。比如，当车辆依次经过桥梁时的频率正好等于或者接近桥梁的固有频率时，引起的共振有可能使桥梁坍塌。类似的例子还包括与玻璃杯的固有频率相近的声波能够使玻璃杯破碎。这些都是共振现象的危害，因此在工程设计上，工程师都需要设法避免让建筑产生共振现象。

共振也不是完全有害的，人们可以利用共振去创造出有用的东西，比如微波炉。微波炉利用微波与食物里水分子的共振效应来达到加热食物的目的。水分子由一个氧原子和两个氢原子组成，它的电荷没有完全被中和掉，对外表现为一个电偶极子。所以水分子是一种极性分子，它在电场下会受到一个力矩的作用。当没有电场的时候，水分子处于平衡状态；当加入电场后，水分子就会发生旋转而偏离平衡位置。这就和弹簧的情况非常相似了。从这个角度来看，根据水分子偏离平衡位置时的劲度系数 以及水分子的转动惯量，可以得到水分子（由周围物质导致的）固有频率为：

这个频率处于电磁波的微波波段内。当使用频率接近的微波照射食物时，食物中的水分子会发生共振，从而吸收电磁能量转换成热能。从这个原理来看，用微波炉加热食物，不能使用金属容器来盛装，因为金属会屏蔽电磁波（实际上还可能产生电火花，带来危险）。我们可以选择陶瓷或者玻璃容器来盛装食物。与传统加热食物的方式不同的是，微波加热的食物是整体变热的。传统加热食物的方式主要使用热传导，食物从外到里依次被加热。

四、单摆的运动

接下来我们介绍单摆。假设质量为 m 的质点被质量可忽略的长度为 L 的长绳连接，绳子的另一端被固定在某个点上。初始时刻，质点处于静止平衡状态，拉着绳子垂直向下。假如质点被拉着偏移了一个小角度 θ ，这时重力在垂直绳子方向上的分量为 。如果质点被松开，它将做小幅度的摆动，并且到绳子另一端固定点的距离保持不变，因此这个小幅度振动本质上是一小段圆弧上的圆周运动，切向加速度可以通过角加速度得到，大小为 。根据牛顿第二定律，有：

这个方程和谐振子的振动方程有着本质上的区别，谐振子的方程是线性方程，上式却是一个非线性方程。对于非线性方程，我们没有通用的求解方法。不过，在小角度摆动的情况下有如下近似：

所以在小角度摆动的情况下单摆方程可以近似为：

这和谐振子的振动方程是一样的，所以我们完全可以套用前面谐振子的结论。在小角度摆动的情况下，单摆固有角频率为 。固有频率与质点质量无关，而只与重力加速度和绳子长度有关。

小结

在物理的很多分支上都能找到谐振子的身影，因此谐振子在物理学中具有举足轻重的地位。这里介绍的方法也是求解线性方程经常用到的方法，特别是使用复指数函数，可以将求导运算转化为代数运算，最终把微分方程转化成代数方程。另一方面，我们介绍了共振现象出现的原因和必要条件，这些理论基础可以帮助我们更好地理解振动现象。在最后，我们还介绍了单摆的运动方程，并在小角度摆动的情况下得到它的频率公式。 Fppibnb2jOj3TT8YE1m337F7xCbrTxMmCK4PwqmxAW4sCXyRXBnQJhVsrUFrzgt7