陀螺仪为什么能定位方向？
——讨论飞轮进动的原理

我们稍微来回顾一下相关的内容，最初的出发点是先证明一个质点的角动量随时间的变化率等于其所受的力矩，随后推导出了多质点的角动量定理，紧接着将其扩充为刚体的角动量定理。有了角动量定理，就能证明角动量守恒定律，利用角动量守恒探讨中子星的自转，进一步利用中心力场角动量守恒与角动量定理，还可以探讨潮汐作用导致的地球形变是如何让月球远离地球的问题，为此我们也进行了关于潮汐的复杂计算。这节课将回归角动量定理与角动量守恒的一些更直接的重要应用。

不过在那之前，我们先讨论有关第七部分《太阳也有潮汐力？》一节的一个问题，为了计算潮汐作用，我们推导了地球与月球的运动，证明了在地月相对运动中可以忽略太阳的引力，但同时我们也证明了太阳引力的效应并不是0。若我们考虑空间站中的宇航员之间的相对运动，根据此前的结论，理论上地球的引力会影响宇航员的相对运动，并且由于这时候宇航员之间的引力极弱，我们这时候不能忽略地球引力对宇航员相对运动的影响，所以这节课我们具体把此效应计算出来并讨论，而不仅仅是计算它的量级大小然后忽略掉。

一、地球引力对空间站中两位宇航员的影响

计算地月相对运动方程中太阳引力的影响，会发现太阳引力对相对运动的贡献是地月引力的1/170，一般可以忽略不计。同样道理，我们也可以用相同的方法，研究地球对空间站中两位宇航员的相对运动的影响。但两位宇航员之间的引力非常小，故地球引力对其相对运动的影响不可忽略，需要利用类似上节的计算方法先将它求出来。

设空间站中的两位宇航员分别用数字标记，称为“1号”和“2号”，其质量分别为 m ₁ 与 m ₂ ，在以地球中心为原点的参考系中，他们的位置矢量分别为矢量 与矢量 。进一步设1号受到的地球引力为矢量 ，1号受到2号的引力及其他相互作用总和为矢量 ，那么由牛顿第二定律可以得到1号的运动方程：

（1）

先前已经推导得知，两体系统的质心运动只与合外力有关，而两位宇航员组成的系统的质心坐标为 ，设地球对2号的引力为矢量 ，则有：

（2）

而1号相对于系统质心的位置是：

其中 是1号宇航员相对于2号宇航员的位置。上式对时间求二阶导数，并联合1号宇航员的运动方程（1）以及质心的运动方程（2）可得：

（3）

上面公式的第二项为两位宇航员之间的相互作用项，而地球的引力则全部化归到第一项中。

进一步设 为1号宇航员指向地球中心方向的单位向量， 为2号宇航员指向地球中心方向的单位向量， 为1号宇航员到地球中心的距离， 为2号宇航员到地球中心的距离，那么，根据牛顿万有引力公式，地球对1号宇航员的引力 和对2号宇航员的引力 分别为：

（4）

其中 为地球质量。

具体将地球对两位宇航员各自的引力的表达式（4）代入式（3）中的地球引力项（第一项）中得到：

（5）

为了方便计算，我们只考虑1号与2号宇航员到地球中心的距离相等情况，即 r ₁ = r ₂ ，如上图所示，此时两位宇航员与地球构成的三角形是以地球为顶点的等腰三角形，又因为两位宇航员之间的距离 r （三角形的底边长）远远小于宇航员到地球的距离 （三角形的腰长），所以三角形的顶角 θ 近似等于底边长比上腰长，即 。而由 与 的定义可知，这两个单位矢量之间的夹角正是顶角 θ ，所以有：

并且由于 与 的大小相等，如图所示， 、 与 构成的三角形和 、 与 构成的三角形相似，所以 的方向与 的方向相反，若设沿 方向的单位矢量为 ，则有：

综上所述，在 r ₁ = r ₂ 的情况下，式（5）可以简化为：

（6）

另外，我们还知道宇航员绕地球公转的角速度满足的公式为 ，那么式（6）可进一步化为：

（7）

将上述关于地球引力项的表达式（7）带回相对运动加速度的表达式（3）中可得：

若我们进一步定义约化质量为：

那么上式可以化为：

上式即为空间站两位宇航员的相对运动方程，右边第一项是地球引力的作用。考虑到空间站一天绕地球约16圈，其中角速度值为 。若两位宇航员之间除引力之外没有其他相互作用，那么上式等号右边的力 特别小，相对于第一项可忽略不计，于是上式成为质量为 ц 、弹簧弹性系数 的谐振子的运动方程。

这说明两位宇航员在空间站内会因为地球的引力而有相对运动。但我们若在相对于地球中心保持静止的惯性参考系中进行分析，会发现两位宇航员以及空间站都以 ω 的角速度绕着地球旋转，他们之间应该保持相对静止，怎么会遵循谐振子的运动方程呢？这似乎与上面推导的相对运动公式相互矛盾。

实际上，在与地球中心相对静止的惯性参考系里看，两位宇航员的连线始终垂直于质心到地球中心的连线，但其质心是绕着地球转的，所以质心与地球的连线也是以 ω 旋转的。因此，虽然两位宇航员之间连线的长度不变，但也是以 ω 旋转的，即若我们保持空间站是平动的，将明显看出两位宇航员在空间站中以角速度 ω 绕着质心转圈，这正好符合前面推导得到的谐振子相对运动公式，并没有矛盾。

二、飞轮的进动与陀螺仪的稳定性

如下图所示，飞轮的转轴被一个支点水平架起，并且飞轮绕着转轴快速旋转：

设旋转导致的角动量方向从支点处沿转轴水平指向外，大小为 L 。由于飞轮受到重力作用，且一端固定，会将飞轮往下拉并使得转轴与水平方向有个小的夹角 ，那么此时飞轮具有指向下的角动量分量 。根据刚体角动量定理，角动量随时间的变化率等于物体所受的合外力矩，即 ，所以对于图中场景，若要产生此竖直向下的角动量变化 ，则需要竖直向下的力矩，力矩等于位置矢量与重力的外积，根据叉乘运算的右手螺旋定则，这对应于需要垂直于纸面指向外的力。

但实际上并没有这个力维持飞轮向下方向角动量的稳定产生，那么这个垂直于纸面指向外的力的缺失，导致飞轮垂直于纸面指向里运动。此时飞轮将绕支点沿着水平方向旋转，那么微小时间内角动量将有一个水平小分量，这与重力矩的方向一致，但飞轮的水平小分量比此微小时间内的重力冲量矩要大，即重力需要更大，才可以完全提供飞轮的水平小分量。

由于重力没在大到让飞轮稳定产生水平小分量，飞轮就反重力方向往上抬高，所以重力不会无限制地把飞轮往下拖。最终形成的运动就是飞轮绕着支点在水平面上逆时针旋转（从上往下看飞轮），此即“进动”，同时在旋转的过程中上下摆动。这是一个比较反直觉的效应。飞轮虽然持续受到重力的影响，但不会如同单摆那样直接往下掉，而是绕着水平方向腾空旋转。

由于各种摩擦力等阻尼的原因，飞轮的上下摆动最终会消失，只剩下绕支点的进动。那么飞轮角动量的变化正是沿着重力矩方向水平变化，利用角动量定理可以马上得出角动量随时间的变化率，进而得出飞轮进动角速度。

关于角动量的应用，陀螺仪是个很好的例子，它可以用来定位方向。陀螺仪中的物体绕轴高速旋转，从而具有非常大的角动量。若陀螺仪在较短时间 内受到力矩 的外来扰动，导致的角动量变化 相比角动量 L 非常小，那么角动量方向 θ 的改变量 也就非常小，从而陀螺仪的指向几乎不受扰动，稳定性极高。

当周围存在较大的磁场干扰，比如在一些矿洞中，指南针会失效，这时就可以用陀螺仪代替指南针来定向。另外，在广袤的宇宙中要想比较精确地定位方向，也需要用到陀螺仪。中国空间站“天和”核心舱里就装载了六个高速旋转的大铁球（控制力矩陀螺）作为陀螺仪来定向。

小结

上面在计算地球引力对空间站中两位宇航员的相对运动的影响时，我们只考虑1号与2号宇航员到地球中心的距离相等的情况，若要进一步考虑更一般的情况，由于我们选择了太阳为参考系的原点，可以将式（5）中的 写成 ，并将 代入后按照小量 展开即可进行计算。实际上，这里计算地球引力对空间站宇航员运动的效应，相当于在计算地球对空间站产生的潮汐力，从计算过程可以看到，宇航员在空间站不同位置受到的地球引力是有微小的不同的，这就导致了潮汐力。第二部分关于飞轮进动的原理，最常见的做法是直接将重力产生的力矩看成推动飞轮水平进动的原因，此时重力矩等于水平进动角动量变化率，但类似我们上文中关于飞轮运动更详细的解释，当飞轮水平转起来时，它会具有新的竖直方向的角动量，但重力是竖直向下的，不可能产生竖直方向的力矩，所以飞轮实际上会向下有个小角度倾斜，使得飞轮自转的角动量有个竖直分量来抵消飞轮整体进动旋转时产生的角动量。这节课补充了之前课程遗留下来的一些问题，并回归到角动量定理与角动量守恒的最直接应用上，至此一系列关于角动量课程的讲解就暂时告一段落了。 j7U8iKKc8Xq+28AWLDu6gMSbwtn2r/hiM0uj9ZBuTxW01y/fvtrt5Ae9J3HgO4aE