空间站受到扰动会不会掉下来？
——第二宇宙速度及空间站扰动问题

前一节内容介绍了第一宇宙速度和同步卫星，并且在沿径向发射的特殊情况下求出了第二宇宙速度。求出第二宇宙速度之后，我们也提了一个问题，那就是当初始速度等于第二宇宙速度时，不是沿径向飞出，而是沿着其他方向飞出，这个物体能否逃离地球的引力束缚到达无穷远？直观上来说，当物体以第二宇宙速度沿着倾斜的方向飞出，那么它的竖直速度分量将小于第二宇宙速度，貌似它飞不出地球的引力束缚。实际上，这样的分析是错的，水平速度分量同样能帮助物体逃离地球。

另一个问题是，空间站在天上并不是绝对不受干扰的。太空垃圾、太阳风暴，或者其他什么东西，都有可能影响到空间站的速度。假如某种干扰使得空间站的速度大小发生了改变，那空间站会不会“砰”的一下子掉下来？如果空间站就这么掉下来了，我们发射的这么多卫星也就毫无用处了。可喜的是，空间站并不会掉下来。接下来让我们详细揭开这两个问题的谜底吧。

一、飞船以第二宇宙速度沿各个方向飞出，皆可逃离地球飞到无穷远

在前一节内容中，我们已经证明了第二宇宙速度 需要满足的方程为：

其中 m 为物体的质量，在这里可以被消掉， M 是地球质量， R 为地球半径， 的值为 。

另外，在前一节中，我们求解出了物体在质点引力场下的运动轨迹为：

其中 ，是一个在物体运动过程中保持不变的常数， A 的取值依赖于物体的初始条件。我们在上一节研究过卫星做圆周运动的情况，现在我们有了一般的轨道方程，那它能不能得到圆周运动的情况呢？作为对我们求出的轨道方程的一个检验，我们考察一下从它能不能得到圆周运动的性质。

当物体做圆周运动时，半径 r 不随角度 θ 改变，因此轨道方程中的 A 为0。所以 。将 代入，立即得到：

这正是物体在引力场下做圆周运动时需要满足的方程，等式左边是引力加速度，等式右边是圆周运动时的加速度。

我们再看看另外一个情形。我们知道，如果物体在地面上以第二宇宙速度竖直飞出的话，它能逃离地球飞到无穷远。现在同样让这个物体达到第二宇宙速度，但是速度的方向不是竖直向上，而是垂直于径向方向，那它到底能不能飞到无穷远呢？我们现在已经掌握了完整的轨迹方程，所以几乎所有卫星运动问题都能回答。我们现在就来回答这个问题。如果它在半径 处沿水平方向飞出，它的初始速度是第二宇宙速度，满足

（1）

式子两边的 m 可以消掉。在这种情况下，它的运动轨迹肯定不是一个圆。为了弄清楚它的轨迹，我们需要计算出对应的 α 是多少， A 和2 B 分别是多少。物体水平飞出时，速度和径向单位矢量垂直，所以此处它的径向速度是0，于是这里一定是近地点或者远地点。在上一节中我们推导出了速度在极坐标下的表达式为：

（2）

此时设物体径向速度为0，我们有 ，所以 。用 α 消掉式（1）中的 可以得到：

移项就得到：

也就是 。同时，物体在 位置时不是远地点就是近地点，不管哪一种情况，都可以将其设为角度坐标的起点，于是在这一点上 。根据轨道方程，令 ，有 。 不仅等于 ，还等于 。这意味着什么呢？这意味着 。于是根据这里的结果，轨道方程可以改写为

初始位置是 θ =0处，代进去就得到 。当 θ 等于 π 的时候，上式分母就是1-1等于0了。所以说，当 θ 越来越接近 π 时，飞船距离地心的距离 r 将会趋向于无穷大，从而飞船飞到了无穷远处。也就是说，物体逃逸出了地球的引力束缚。这种情况下物体的轨迹是一条抛物线。

注意到刚才的分析着眼于水平飞出（沿切向飞出）的情况，利用到的性质主要包括两点，第一是初始时刻的径向速度分量等于0，这一点导致 α 等于半径乘以速度，同时也导致了初始位置是轨道的近地点或者远地点，于是可以作为坐标 θ 的起点；第二点是，初始速度满足式（1）。这两点综合起来就会得到 ，于是运动轨迹为抛物线，从而物体能到达无穷远处。

回忆上一节介绍的引力势能，式（1）本质上说的是在初始位置时动能加上引力势能等于0。因为能量守恒，只要初始时刻总能量为0，那么接下来任何时刻总能量都等于0。假如物体以第二宇宙速度沿任意方向飞出，忽略地球体积，根据上一节的讨论，物体的轨迹必然是椭圆、抛物线或双曲线中的一种，这些曲线统称为二次曲线。对于后两种情况，物体的运动轨迹可能只是抛物线或者双曲线的一部分，比如前面说的水平飞出的情况，它的轨迹不是完整的一条抛物线。但是，不管怎么样，部分的轨迹可以经过反向延伸成为一整条二次曲线。所以，我们总能在轨迹上面找到最近点或者最远点。由于物体是以第二宇宙速度飞出的，在这个最近点上物体的状态满足两个性质：第一是它的径向速度分量等于0，第二是它的总能量等于初始总能量，也就是等于0：

这两个性质正好就是物体沿切向飞出时初始位置满足的性质，因此在任意方向飞出的情况下，物体依然能够逃离引力束缚飞到无穷远处。

假如物体是斜向上飞出的，那么它已经“飞离”近地点，需要对轨迹做反向延伸才能得到近地点。如果物体向下飞出，这时候就要考虑地球的大小了，如果轨迹的近地点距离小于地球半径，那么物体会撞到地面上；如果轨迹的近地点距离大于地球半径，物体将会在飞过近地点之后逃离地球去到无穷远处。

二、空间站在碰撞后轨迹会变成椭圆，速度改变量很小时新轨道变化不大

关于空间站受到扰动会不会掉下来的问题，我们可以采取简化问题突出重点的策略。假设空间站一开始做的是圆周运动，速度为 ，半径为 。然后在某个时刻，空间站碰到一些碎片，或者受到太阳风的影响，空间站的速度变成了 ，速度方向不变。 可以是正数也可以是负数，分别对应速度在扰动之后变大或者变小。

我们已经知道一般性的轨迹方程了，还需要确定轨迹的两个参数。为了对比轨道的变化情况，我们需要计算出扰动前的轨道方程以及扰动后的轨道方程。假设扰动前的轨道参数为 与 ，扰动后的轨道参数为 A 和2 B 。根据我们的假设，扰动之前的运动是圆周运动。前文已经介绍了圆周运动的轨道参数，借助其结论，我们有：

在扰动之后，新的轨迹方程为：

扰动的瞬间，空间站的位置并没有变化，因此新的轨迹和旧的轨迹必然有重合点。根据我们的假设，扰动前的运动为圆周运动，速度与径向垂直。扰动瞬间只改变了速度的大小，没有改变速度的方向，因此扰动后的那一刻速度依然和径向垂直，也就是说速度的径向分量为0。所以，扰动位置是新轨道的近地点或者远地点，这里可以作为轨迹方程中 θ 坐标的起点。考虑 θ =0的位置，有：

（3）

在上式中， A 可以大于0，也可以小于0。大于0表明 θ =0处是近地点，小于0表明此处是远地点。考虑式（2），它是速度在极坐标下的展开式。因为极坐标基矢是正交的，所以矢量模方等于分量的平方和。考虑到 ，我们会得到：

空间站受到扰动之后速度大小改变了，所以 α 也跟着改变了，但是空间站到地心的距离仍然保持为 。速度的改变量 相对于 来说很小，我们可以使用微分法来进行研究。微分法是能把复杂的变化转化为线性变化的一种方法，因此能够简化我们的分析。通过对上式进行微分，我们有：

由于假设改变的只是速度大小而非方向，再考虑到原来的速度方向是沿着地球切向的，所以在扰动后的一瞬间径向速度依然为0，于是上式右边第一项为0。经过化简，我们可以得到：

（4）

由于 ，也就是 。其中 是一个常数，所以：

将这个结果和式（4）结合起来，可以得到：

可见 B 的变化方向与 的相反：当 大于0时， 小于0；当 小于0时， 大于0。

解决完2 B 的改变量，接下来我们求 A 的改变量。前面提到 ，所以 A 的改变量等于 A 本身。我们要怎么求出它的改变量呢？注意到式（3），它将 A 和 B 联系起来了，因此可以从 B 的改变量得到 A 的改变量。因为 为常数，所以：

综合这些结论，我们得到：

将这个结果代入轨迹方程，最终得到：

这就是扰动后的轨道方程，适用于 远小于1的情况。可见在扰动之后，空间站的轨道从圆形变成了椭圆形。我们可以得到：

这存在两种情况。当 时，有 ，也就是说 处是近地点。什么意思呢？意思就是说当空间站失速了，它会沿着原来圆周的内侧偏离，走一个椭圆轨道。而当 的时候， ，所以 θ =0成了近地点，这时候空间站将沿着原来的圆周轨迹的外侧偏离。总而言之，随着速度大小的变化，空间站的轨迹在连续地变化。空间站不会突然地掉下来，它的轨道只是在原来的轨道上做微小的修正。

到了这里，我们关心的问题都已经解决完毕。不过，我们现在只是知道了 r 作为 θ 的函数，而 r 与 θ 作为 t 的函数还是没有知道。这可以通过积分得到，因为 ，也就是：

将轨道方程代进去可以得到：

对上式进行积分可以得到 ，然后反解就可以得到 θ 作为 t 的函数。将 代入轨道方程会得到 。

小结

本节内容主要是在上一节得到的轨道方程基础之上回答上一节遗留下来的问题，最终我们通过实际计算表明，以第二宇宙速度沿各个方向都可以逃离地球的引力束缚飞到无穷远，以及空间站在受到扰动之后，它的轨道只是发生了轻微的改变，不会突然掉下来。在小节的最后部分，我们还介绍了怎么解出卫星位置随着时间变化的方程。 JmMuNko6s0lh982FzHZslsN/yTPq5pEvvjJMvApLREAHYV5aoO+jXB0yBvStoAUy