6.6　相关性和未定义方差

下面来看一个矛盾现象：在某些情况中，协方差为无穷大，相关性却为有限值。不过这和第三章讨论PCA时遇到的问题一样——样本误差极大，我们需要极大的数据量才能使两者显现出差异。

问题：为什么在幂律分布类中，肥尾分布的单变量均值（和高阶矩）都为无穷或未定义，但在高维条件下，却可以存在无限（或有限）的协方差和有限的标准差？

以一个定义在(−∞,∞)上的分布为例，假设各阶矩均不存在： 无定义， ，协方差不存在， 无定义。但是n个随机变量的相关性（非中心化）依然在-1到1之间。

由亚指数性质，在x→∞时，我们有 。这里幂律分布类包含在亚指数分布类 之中。

将随机变量按照绝对值排序，使

令 对所有的

图6.10展示了一种可能的相关性分布。相关性有限并不意味着方差低：这里相关性虽然存在，但因为收敛极慢，噪声很大，其统计意义非常有限。