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6.3 多元学生T分布

多元学生T分布是一种便捷的建模方式,因为在α=1的情况下,它会呈现柯西分布特征。还有一种方式是多元稳定分布,我们将看到,它没有明确的概率密度函数。

假定X为服从多元学生T分布的(p×1)向量,X~S t (M,Σ,α),这里M是长度为p的向量,Σ是p×p矩阵,α是帕累托尾的尾部指数,PDF可以表示为:

6.3.1 肥尾条件下的椭圆性和独立性

以两个柯西分布变量x和y概率密度的乘积为例:

显然,结果没有椭圆性,正如我们在第三章中所举的两人财富的和为3 600万美元的例子。如果和联合分布f ρ (x,y)进行比较:

这里将ρ设为0,也即假设变量不相关,

得到的是椭圆分布,因此我们可以看到,变量不相关和相互独立是两个不同的概念。

两个随机变量X和Y相互独立可以定义为:

这里不管相关系数的取值。在椭圆分布类中,相关系数为0的双变量高斯分布既相互独立,也不相关。但对柯西分布或学生T分布就不成立。

相关系数为0的多元稳定分布依然不满足独立性条件,原因如下所述。

随机向量 满足多元稳定分布的条件是,对于所有的元素,线性组合 都满足稳定分布条件。也就是说,对于任何常向量 ,随机变量 应该服从稳定分布。而线性组合要落在同样的分布类的条件是椭圆性。因此,从定义上看,f 0 (x,y)和f(x)f(y)就不一定相等。以有明确概率密度函数的柯西分布为例,密度函数乘积的分母包括一个额外的x 2 y 2 项,会把概率密度等高线向一边或另一边拉扯,这和第三章介绍的例子类似。 SXSOi0UWiSA0qiEHLfJuyH4Kh6IJSYLgiv3kGt4vCxAqSVujBITn7ieqlwErGVAW

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