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尾部从哪里开始？
我们认为，尾部从概率分布对尺度展现出凸性的地方开始，换句话说，尾部开始的位置受到随机波动率效应的影响。
图4.4中存在一系列和参数a无关的的交叉区域。被称为“钟形曲线”的分布实际上有着凸-凹-凸的曲线结构（或拟凹结构）。
随机变量X的概率密度函数为p(x)，PDF属于单模型单变量连续PDF p
σ
，定义域
，尺度参数σ。假设p(.)定义域上为拟凹函数（非单调凹函数或凸函数）。p(x)满足对所有的
，对所有的
如果变量为“双尾分布”，也即定义域为
且
1．在内部存在某个“尖峰”区域，
，对概率分布的σ进行δ扰动后，当
时，
2．在外部存在某个“尾部”区域，当
或
时，
3．在中间存在某个“肩部”区域，当
或
时，
黑天鹅问题： 我们可以看到，不仅仅是尾部事件会发生或尾部事件重要，关键在于这些事件起到主导作用 并且 其概率无法被简单计算，不存在任何可靠的估计方法。它告诉我们，黑天鹅不一定来自肥尾本身，问题可能源自对尾部事件的不完整评估。
图4.4 尾部从哪里开始？通过扰动高斯分布的尺度参数，使其变得随机（而非固定）可以获得越来越肥的尾部，此时分布的部分区域会获得概率密度，而另一些区域会失去概率密度。中间事件的可能性降低了，而温和事件和尾部事件的概率升高了。我们可以看到，a 1 和a 4 处发生隧穿，所以“尾部”的合理起始位置是左边的a 1 和右边的a 4 。
假设
的解集。
对于高斯分布(µ,σ)，将σ的二阶导数设为0，得到的解为：
可以求得下列交点：
在图4.4中，最终不同区域交点的数值为{−2.13σ,−0.66σ,0.66σ,2.13σ}。
对于对称幂律尾分布（如下所示），如果尺度为s，尾部指数为α的学生T分布为：
上面的B(.)是β函数，
当学生T分布为“立方分布”，也即α=3时：
对一般的对称幂律分布来说，尾部开始的位置是
，在高斯随机波动率模型中，标准差为s，α为无穷大。“尾部”出现在2～3个标准差处。这源于我们的定义：分布的哪一部分对尺度估计误差呈现出凸性。
但在实践中，由于小样本效应，根据历史数据计算的STD会偏小（再次强调，肥尾会加重小样本效应），实际尾部起始位置会大于2～3个标准差。
我们可以证明，当α→∞时，上述交点即为高斯分布的交点。比如，对于a 1 ：
对于某些具备“钟形”凸-凹-凸特征的单尾分布，在一定条件下，上述四个交点依然成立。其中对数正态分布是一个特例。
随机参数 椭圆分布的问题是无法描述证券回报率的，因为方差在各个时间点上并不一致，可参见布绍和奇切帕提奇（2010） [42] 。当不同分布的尺度不发生同向移动时，分布趋于椭圆分布。图6.2显示了应用类随机波动率方法带来的结果：更令人讨厌的随机相关性。在第六章中，我们会用突变的方式扰动相关性，不对相关性矩阵Σ做整体扰动。