6.2　联合肥尾分布及其椭圆特性

随着维数和随机变量的增加，我们之前定义的肥尾之外出现了更有意思的现象。

什么是椭圆等高分布？ 从标准的定义来看 ^[88] ，我们认为p×1维变量X满足椭圆分布（椭圆等高分布）的前提条件是，特征函数ϕ可以表示为：

其中µ为位置参数，Σ为非负定矩阵，Ψ为某标量函数，对概率密度也可以采用类似的定义。目前先认为Ψ是协方差矩阵Σ的函数。

直观地说，椭圆分布应该展示出等高线图一般的椭圆特性，可以在图6.2和图6.4中看到2D（双变量）和3D（三变量）对应的情形。而非椭圆分布会体现出不一样的形状特征，如图6.3和图6.5所示。

椭圆分布的主要性质是，在线性变化下是封闭的。正如我们在第三章身高和财富的例子中看到的那样，椭圆分布意味着（在双变量情况下），尾部来自单一偏差的概率较低。

椭圆性与金融领域的主要理论缺陷 在投资组合构建和投资组合理论中，椭圆分布线性变换下的封闭性质为该领域提供了极佳的特性（实际上，如果分布的椭圆性不成立，整个投资组合理论将不复存在）。

在椭圆条件下，所有投资组合的回报都可以被完全描述为位置和尺度的分布，任意两个具备同样位置和尺度的资产都有着完全相同的收益分布。

具有讽刺意味的是，列维稳定分布是椭圆分布——但只是定义上的。

因此，椭圆性（有限方差条件）允许现代投资组合理论（MPT）在所谓的“非正态”情况下推广其结果，最早始于 ^[183] ，也可参见 ^[121] 。然而，对了解随机协方差的人来说，资产回报在任何测度下都不满足椭圆特性，参见奇切帕提奇和布绍 ^[42] 以及E.8中描述相关性稳定性的直观图表。

一个简单的示例是，通过 来表达，假设双变量正态分布的特征函数为 。下面我们将ρ随机化，假设概率p取ρ ₁ ，（1-p）取rho ₂ 。

图6.8展示了 和ρ ₁ =ρ ₂ 时的结果。

我们还可以更严谨一些，表现出两者的差异，将协方差矩阵Σ随机化，比较公式6.3中的