购买
下载掌阅APP,畅读海量书库
立即打开
畅读海量书库
扫码下载掌阅APP

5.2 幂律的性质

核心性质有两个。

5.2.1 变量求和

性质1:变量求和的尾部指数

假设X 1 ,X 2 …X n 为非独立非同分布随机变量,其中每个X i 都服从某个渐进尾部指数为α i 的分布(我们假定在幂律分布类之外,分布的渐进alpha均为+∞),后面我们主要观察分布的右尾(左尾也类似),详情见 [99]

考虑对上述变量加权求和 加权权重ω i 均为正值,α s 为和的尾部指数。

对于所有的ω i >0:

α s =min(α i )

也就是说,只要在变量中加入一个均值、方差或高阶矩未定义(无限大)的随机变量,整体变量和的均值、方差或高阶矩就为无限大。

法则5.1 (幂律尾+薄尾=幂律尾)

无论如何组合,将幂律尾随机变量和薄尾变量混合都会得到幂律尾变量。

5.2.2 变换

第二个性质看上去没什么,但实际上会带来一些麻烦。

性质2

假设X为尾部指数α的随机变量,变量X p 的尾部指数为

该性质告诉我们,一个尾部指数小于4的随机变量(方差有限),其方差的方差是无穷大的,我们可以看到,它给随机波动率模型带来了挑战,真实世界的过程很有可能是无限方差的。

这也给我们一个启示,无须计算就可以想象,对一个随机变量进行凸变换可以增厚尾部。

证明 一般化的证明方法如下,假设p(.)为概率密度函数,且φ(.)为某种变换函数(带有一些限制条件)。我们可以得到变量变换之后的分布(假设定义域保持不变):

假设对一个很大的l,取x>l(比如缓变函数中x“停止变化”的位置),该类x的PDF可以被写为p(x)∝Kx −α−1 ,这时考虑y=φ(x)=x p :y=x p

的逆函数为 将其代入公式5.8可以得到

在l之上积分,生存函数可以表示为 jBQj6D8WZoaQHXKjfZfMXsnTDGYwwSuIoFFsSyl8gula9htzSGGLXbF9Cinv/dhY

点击中间区域
呼出菜单
上一章
目录
下一章
×