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核心性质有两个。
假设X 1 ,X 2 …X n 为非独立非同分布随机变量，其中每个X i 都服从某个渐进尾部指数为α i 的分布（我们假定在幂律分布类之外，分布的渐进alpha均为+∞），后面我们主要观察分布的右尾（左尾也类似），详情见 [99] 。
考虑对上述变量加权求和
加权权重ω
i
均为正值，α
s
为和的尾部指数。
对于所有的ω i ＞0：
α s =min(α i )
也就是说，只要在变量中加入一个均值、方差或高阶矩未定义（无限大）的随机变量，整体变量和的均值、方差或高阶矩就为无限大。
无论如何组合，将幂律尾随机变量和薄尾变量混合都会得到幂律尾变量。
第二个性质看上去没什么，但实际上会带来一些麻烦。
假设X为尾部指数α的随机变量，变量X
p
的尾部指数为
该性质告诉我们，一个尾部指数小于4的随机变量（方差有限），其方差的方差是无穷大的，我们可以看到，它给随机波动率模型带来了挑战，真实世界的过程很有可能是无限方差的。
这也给我们一个启示，无须计算就可以想象，对一个随机变量进行凸变换可以增厚尾部。
证明 一般化的证明方法如下，假设p(.)为概率密度函数，且φ(.)为某种变换函数（带有一些限制条件）。我们可以得到变量变换之后的分布（假设定义域保持不变）：
假设对一个很大的l，取x＞l（比如缓变函数中x“停止变化”的位置），该类x的PDF可以被写为p(x)∝Kx −α−1 ，这时考虑y=φ(x)=x p ：y=x p
的逆函数为
将其代入公式5.8可以得到
在l之上积分，生存函数可以表示为
