5.1　尺度和幂律（第三层）

下面我们进入肥尾的硬核部分。

为什么会出现幂律分布？ 很多理论都描述了为什么自然界会存在幂律分布，并将其作为概率分布的一个特例来看。但大家似乎从未反过来思考：幂律才是常态，而高斯分布是一个特例 ^[223] 。这也是《反脆弱》和数量化不确定性系列后续要描述的内容，高斯分布主要来自事物的凹凸响应（抑制脆弱性和反脆弱性，增强鲁棒性，从而导致尾部变薄）。

5.1.1　有尺度和无尺度，对肥尾更深层的理解

到目前为止，我们对肥尾的理解还停留在有限矩的范围内，对那些无限矩的分布类来说， 依赖于n和K。对无尺度的分布来说，如果在尾部选择足够大的K，那么 只依赖于n。这类分布不存在特征尺度，从而具备帕累托尾部。比如，对足够大的x， α是尾部指数，C为常数。

注意 我们可以看到，学生T分布和帕累托分布的尺度差异，常规帕累托分布的定义更一般地被表示为 这里的L(x)是“缓变函数”，即对于所有常数t＞0满足下列性质：

对于足够大的x， 会收敛到常数，也即尾部指数−a。随着x→∞，存在尺度的分布会在log-log图上展现出α的尾部斜率。对于高斯分布（标准差σ，均值µ），不用计算超越概率，直接通过PDF就可以2看到 也即在±x→∞时会比−log(x)更快地趋向−∞。

到目前为止，我们可以直观感受到不同类型分布的差异。分布只有存在尺度才会有“真正的肥尾”，而其他的分布都会在求和的过程中逐渐高斯化。另外，尾部指数是渐进的，我们可能永远无法到达极限，能看到的都是某种中间状态。最后，上面所有的图表展示的都是柏拉图式的理想分布，现实世界的过程要更加复杂和混乱，我们也会随着大偏差的出现不断调整尾部指数。

定义5.1（ 类分布）

满足 类幂律分布（正规变化）的随机变量X可定义为：

5.1.2　灰天鹅

为什么用学生T分布来模拟对称幂律分布？ 只是为了方便，我们并不认为幂律的产生机理是学生T分布，因为分布的中间部分对决策来说并不重要，只需要关注尾部特性即可。

尾部指数数值越小，分布的中间部分就越不重要。尾部指数数值越大，学生T分布就越像高斯分布，使用学生T分布作为近似的合理性就越强。

为刻画不对称幂律分布，可以使用列维定理这类更高级的方法。但实际上，我们无须过度复杂化，简单采用两个不同参数的单尾帕累托分布即可（设置不同的左尾和右尾α）。

参数估计问题 要注意，有很多种通过数据来估计尾部指数α的方法，也即“参数拟合”。但是要准确估计尾部指数非常难，因为尾部事件数据量不足，拟合本身会面临极大误差。总的来说，已有数据会显示出比真实情况更薄的尾部。

在后续章节中，我们将更深入地讨论这个问题。