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表5.1对第三章里的分布重新进行了排序。这里可以温习一下在极端薄尾（伯努利）和极端肥尾之间的一系列概率分布。在各类不同的分布中，一般被用来区分矩收敛性质的分布有：
1．紧支撑（但非退化分布）
2．亚高斯分布
3．亚指数分布
4．尾部指数大于2的幂律分布
5．尾部指数小于等于2的幂律分布。幂律分布仅在尾部指数大于1的时候存在均值，而仅在尾部指数大于2的时候存在方差
6．尾部指数小于1的幂律分布
表5.1 分布排序
我们感兴趣的是区分尾部事件是否有主导效应，从而找到平均斯坦和极端斯坦两大类的正式边界。
从中间看，亚指数分布是“薄尾”和“肥尾”的边界，具备如下性质。
假定X=X
1
,X
2
…X
n
是定义在
上的独立同分布随机变量，累积分布函数F，亚指数类分布可以定义为：
这里
是两个变量X
1
+X
2
的和的累积分布，这就意味着，X
1
+X
2
超过某个值x的概率是单个变量X超过该值概率的两倍。因此，对于非常大的x来说，每当和超过x，贡献就主要来自某个x——两个变量中的较大值，而较小值的贡献很小。
更一般地说，对n变量求和时也会由该集合中的最大值主导。更严谨地讲，亚指数分布等价于下列两个性质 [43] [84] ，对于给定的n≥2，让
因此，S n 和最大值M n 的量级相同，也即尾部起着最重要的作用。
从直觉上看，亚指数分布的尾部应该比指数分布下降更慢，因为指数分布的尾部事件并不起主导作用。实际上我们可以证明，对所有的
，亚指数分布不存在指数矩：
然而，反过来就不成立了，因为一个分布可以没有指数矩，但不一定满足亚指数条件。
这里如果把随机变量x的偏离定义在负数区域，根据对称性，类似的结论同样成立，只需要把x→∞替换为x→−∞即可，对双尾变量来说，我们可以对正负区域分别进行研究。