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假设我们有区域
边界定义为
随着范数提升，我们可以计算如下高维球面：
图4.13和图4.14分别展示了两种效应。
第一种效应是范数提升直观上会占据更多空间。
在第二种效应中，我们可以看到维数灾难，这一条非常有用（主要用于模型误差估计）。对比图4.13和图4.14就会发现，在第一种情况下，d=2，p=1时会占据正方形的一半，p=∞时会占据全部空间，范数的比值为
。但当d=3，p=1时占据
的空间（p=∞时占据全部空间）。高阶矩对低阶矩的比值会随着维数的增加呈现出爆炸性提升，如图4.15所示。
图4.15 维数灾难在统计领域尤其是在高维模型误差上有着大量应用。随着维数d升高，V 1 和V ∞ 的比值大幅上升，当d=2时该比值为2，但当d=9时该比值就达到了六位数。
拓展阅读： 我们先讨论到这里，为读者推荐一些统计图书。如果想对概率有更多直观的理解，建议必读的是博雷尔 [85] 、科尔莫戈罗夫 [145] 、勒夫 [154] 、费勒 [91] [92] ，测度论可以读一下比林斯利 [20] 。
亚指数性 皮特曼 [196] ，恩布列切和戈尔迪（1982） [83] ，恩布列切（1979，看上去和他的博士论文很接近） [84] ，奇斯佳科夫（1964） [43] ，戈尔迪（1978） [112] 和泰格尔（Teugels） [248] 。
极值分布 恩布列切等人 [82] ，德哈恩和费雷拉 [116] 。
稳定分布 乌柴金和佐洛塔廖夫 [257] ，佐洛塔廖夫 [271] ，萨莫林斯基和塔克 [209] 。
随机过程 卡拉萨斯和施里夫 [141] ，奥克森达尔 [182] ，瓦拉丹 [261] 。