4.2　随机波动率能否产生幂律？

我们还没有清晰地定义过幂律，现在可以暂时认为，分布至少满足一阶矩是无限的这个条件。

该问题的答案是：取决于我们是在随机化σ或σ ² ，还是在随机化 或 。

假设从基础的高斯分布出发，也即随机变量 ，下面有几种方法可以使尺度参数σ变得随机。这里要注意，σ是非负数，所以必须采用某种单尾分布。

·我们可以使σ ² （或者σ）服从对数正态分布。这样一来我们无法得到解析解，但是可以求解矩，且能确定分布无法满足幂律条件。

·我们可以使σ ² （或者σ）服从伽马分布，这样一来就存在解析解了，如公式4.7所示。

·我们可以使 ——精度参数满足伽马分布。

·我们可以使 满足对数正态分布。

表4.1中的结果是不同概率密度函数和期望操作符的简单叠加，假设X为任意随机变量，其PDF f(.)符合位置-尺度参数的定义。另外有随机变量λ，其PDF为g(.)。X和λ相互独立，因此，以标准的做法，两者的乘积Xλ和两者的比值 的p阶矩如下（通过梅林变换）：

这里位置-尺度类分布满足性质 ，比如 （即正态分布），则 。