4.1　构造轻微肥尾的简单方法

先回顾一下凸性和詹森不等式：

假设 是实数向量空间上的凸集合，函数

那么ϕ为凸函数。

对于随机变量X和凸函数ϕ(.)，由詹森不等式 ^[135] 得出：

评论3：肥尾和詹森不等式

对高斯分布（以及所有能用位置和尺度参数定义的分布）来说，尾部概率对分布的尺度具备凸性，这里尺度参数可以用标准差σ（和方差σ ² ）来表示，因此，我们可以通过让标准差或者方差“随机化”的方式来增厚尾部，这样就可以在概率分布层面检验詹森不等式效应。

异方差是时间序列分析中的一个常用术语，主要用于描述尺度参数随机变化的过程。我们的方法是“随机化”，即在保持均值不变的条件下扰动分布的方差或标准差。

但需要注意的是， 所有 的肥尾过程，甚至幂律过程都可以 在样本内 （即有限数量的观测下）用一个方差变化的高斯过程、一个状态切换过程，或者高斯过程加上一系列跳跃的组合来描述（虽然跳跃的尺度一般会有差异，见 ^[174] 中的总结）。

该方法也可以帮助我们回答4.3中的问题：“尾部从哪里开始？”

假设 是正态分布的概率密度函数（均值为0），对于给定点x，分布是自身方差的函数。

下面比较 和 ，两者的不同可以通过詹森不等式解释。我们假设σ ² 的均值为常量，σ为常量也可以——对于把均值限制条件放在方差还是标准差上一直存在争议，但是，只要保持一个值为常量即可，只是为了方便我们说明，这里没有本质区别。

由于在肥尾条件下高阶矩会增大，尽管不一定是低阶矩，所以我们可以在仅增加肥尾性（通过四阶矩）的同时保持低阶矩（前2至3个阶矩）不变。

4.1.1　固定方差的增厚尾部方法

通过“随机化”方差的方式，我们可以保持分布的 不变并增加 。因为 是对样本 方差的估计， 平移等同于 ，所以在大部分时间里，我们可以直接研究 。本章后面几小节会以更严谨的方式进行“随机化”。

为了直观理解，一个有效的方法是模拟均值为0的随机变量，然后通过固定方差的方法增厚尾部：假设随机变量以 的概率满足 ，另外 的概率满足 ，这里

其特征函数 如下：

奇数阶矩均为0，二阶矩保持不变：

四阶矩：

根据传统的峰度计算，该分布的峰度为3(a ² +1)（这里为了和高斯分布进行对比，不删除3）。这意味着，我们可以从样本峰度反推a的值。这里的a可以被视为随机波动率参数（或Vvol）的平均偏差。

简单方法的局限性 上面的方法有助于我们建立基本的理解，但是应用空间有限，因为该方法最多只能将峰度提升到高斯分布的两倍，所以更适合用来做教学示例以帮助大家理解凸性效应。在4.1.2中，我们会介绍一种更复杂的技术方法。

这一点经常被人们误解。

4.1.2　通过有偏方差增厚尾部

我们可以改进4.1中制备肥尾的方法（将峰度限制为高斯的两倍）。我们在高斯方差之间切换：

这里 ，特征函数如下：

峰度为 ，这样一来，在方差不变的条件下，允许出现更高峰度的极端状态。

比如，假设p=1/1 000，那么相应的最大可能a=999，峰度就可以达到3 000。

该方法非常接近对数加权特征函数带来的统计效应：

V是方差，Vv是二阶方差，也即波动率的波动率，由于分步积分，我们可以使用傅里叶变换求得所有可能的收益（见盖思勒尔 ^[102] ）。但是，由于解析解的缺失，通过方差的分布来研究会更容易一些。

伽马分布 在研究方差分布的过程中，伽马分布是拟合高斯分布方差的极佳工具，可以让我们破除一些原有体系的限制 ^[36] 。在研究实践中，伽马分布比对数正态分布要更容易拟合。

假设高斯分布的方差遵循伽马分布。

其均值为V，方差为 。图4.2展示了在保持一阶和二阶矩相等的情况下，即均值 ，标准差 ，伽马分布和对数正态分布的相似性。在波动率均值保持不变的条件下，最终的分布为：

那么：

这里K _n (z)是贝塞尔K函数，满足微分方程

下面让我们深入研究随机波动率的各种表现形式。 vp8vziJhUN2CksneFfNbv9ualbUS9u658iiWRJJrweM5q64+DZKdkiuOpzO+s/S8