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X是随机或者非随机变量，而F(X)是风险敞口，是收益，是X施加于你的作用，是最终的底线（X一般是高维的，这里先简单假设X是一维随机变量）。
从业者和风险承受者经常会看到如下的割裂现象：人们（非从业者）谈论X（认为从业者在实践中应该考虑X），而从业者在考虑F(X)，而且只考虑F(X)。自亚里士多德以来，人们就在长期混淆X和F(X)，作者之前曾写过一本书《反脆弱》 [230] 来讨论这一主题。有时人们将F(X)理解为效用，但是忽略了整体收益。而这种混淆有两个层次：第一层是简单的概念混淆，第二层是在决策科学文献中，可以看到两者的区别，但是没有意识到对F(X)进行操作比对X进行操作更容易。
·变量X可以是塞内加尔的失业率，F 1 (X)是对国际货币基金组织（IMF）底线的影响，而F 2 (X)是对你祖母的影响（我认为微乎其微）。
·X可能是股票价格，假设你持有股票期权，F(X)就是你持有期权的仓位暴露，或者更复杂一些，是你对期权仓位暴露的效用。
·X可以是财富的变化，F(X)是该变化对你生活的凹性或凸性影响。我们可以看到，F(X)会比X更稳定（尾部更薄）。
变量X的凸性函数vs变量X的线性函数 看一下图3.30，当F(X)越是非线性时，混淆F(X)（垂直）和X（水平）变得越严重。F(X)凸性越大，F(X)的统计性质和其他特征的变化越大。比如，根据詹森不等式，F(X)的均值会和F（X的均值）不同。但除了詹森不等式，两者之间的风险差异将越来越大。当考虑概率的时候，F越是非线性，X的概率对F而言就越不重要。这里的寓意是：重点关注F，我们能改变的只有F，而不是关于X的某种难以捉摸的性质。
图3.29 混淆X（随机变量）和F(X)（X的函数或收益）。如果F（X）具备凸性，我们就不用知道太多信息——X纯粹变成一个学术问题了。而且转换F(X)要比转换X安全得多。
图3.30 常见混淆：对一个厚尾变量X进行凹凸性转换可以产生薄尾分布（上图）。一个作用在(−∞,+∞)分布的Sigmoid变换（下图）会产生存在紧支撑的ArcSine分布。
知识有限性 至关重要的是，我们知识的有限性适用于X而不是F(X)，我们不能控制X，但可以部分控制F(X)，甚至在某些情况下可以高度控制F(X)。
图3.31 通过凹凸性转换（高斯分布/逻辑分布的倒CDF）使得分布f(X)的尾部变得更厚。
处理黑天鹅问题的危险性正在于此：人们总是关注X（“想预测X”）。我想指出的是，虽然对X不够了解，但是我们可以通过改变我们了解的F来处理X。当所有人都想预测X的时候，我们不能这么做，因为小概率事件很难被计算，尤其是在厚尾分布的领域。F(X)是最终结果对你的影响。
F(X)的概率分布和X的分布完全不同，尤其当F(X)是非线性的时候。我们需要对X做一个非线性变换，得到F(X)，我们不得不等到1964年才能讨论“随机变量的凸性变换”，范兹维特（1964） [259] ——因为这一问题在之前似乎并不重要。
无处不在的S曲线 F几乎总是非线性的（实际上，我认为所有情况都是非线性的），一般是“S曲线”，也即凸凹函数（对增函数来说）。更详细的讨论可见章节F。
脆弱和反脆弱 当F(X)是凹的（脆弱）时，对X的误差可以转化为F(X)的极端负值。F(X)是凸的，则在很大程度上不受严重的负变化的影响。而在试错的情况下，或者持有一个期权，我们不需要像了解实际风险敞口那样了解X。简单地说，X的统计性质被F掩盖了。《反脆弱》一书的核心就是风险敞口比直接的“认知”（了解X）更重要。
F越是非线性的，X的概率在最终F的分布中所占比例就越低。
很多人把概率X和F弄混了，我是认真的：整本书都是在这一错误的基础上展开的。好好看看F吧，别再折腾X了。
对事件的凸性比正确判断更加重要 2017年秋季，一家做空波动率的公司破产了——公司决策者预测实际市场波动率（而不是方差）低于市场“预期”。虽然他们预测对了，但公司还是破产了。原因是他们的收益函数是凹函数。我们之前提过，x和f(x)完全不同，真实世界也不存在线性的f(x)。
下面的案例可以告诉我们原因。假设投资者每天的收益函数如下图，表达式为f(x)=1−x 2 ，就是说，如果x向上移动1个单位（假定为标准差），就会相应地产生盈亏。这也是一个典型的“方差互换”合约。
下面考虑以7天为周期的两组x连续偏离（以标准差单位表示）。
序列1（薄尾）：{1，1，1，1，1，0，0}，平均偏差=0.71，P/L=2。
序列2（厚尾）：{0，0，0，0，0，0，5}，平均偏差=0.71（相同），P/L=-18（彻底破产）。
两种情况下他们都做了正确的预测，但是波动率的聚集程度——厚尾程度导致结果天差地别。
简言之，这个实验解释了在现实世界中，为什么“糟糕的”预测者可以成为优秀的交易员和决策者，反之亦然。这是每个实践者都知道的事情，然而，那些“预测”研究却忽略了这一点。研究比实践落后了几个世纪。