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我们通过划分平均斯坦（薄尾）和极端斯坦（厚尾）这两个类别来介绍厚尾的概念，由此展开对厚尾和极端值的关系的研究。
·在平均斯坦中，随着样本量逐渐扩大，没有任何单一的观测可以真正改变统计特性。
·在极端斯坦中，尾部（罕见事件）在决定统计特性方面发挥了极大的作用。
另外一种视角：
假设有一个很大的偏离X。
·在平均斯坦中，随机变量连续两次大于X的概率大于单次大于2X的概率。
·在极端斯坦中，随机变量单次大于2X的概率大于连续两次大于X的概率。
接下来，我们在平均斯坦中随机选择两个人，假设两人身高之和为4.1米（一个极小概率的尾部事件）。根据高斯分布（或者类似特性的单尾分布），最可能的情况是，两人的身高均为2.05米，而不是10厘米和4米。
简单来说，出现3个标准差之外事件的概率是0.001 35，出现6个标准差（翻了一番）之外事件的概率为9.86×10 −10 ，而连续两次出现3个标准差之外事件的概率为1.8×10 −6 。因此，连续两次出现3个标准差事件的概率远大于一次出现6个标准差事件的概率，这也是非厚尾分布带来的结果。
在图3.1中，我们从出现两个3倍标准差事件的概率除以6倍标准差事件的概率出发，扩展到计算出现两个4倍标准差事件的概率除以一个8倍标准差事件的概率，等等。越往尾部延展（图3.1的右侧），我们会看到大偏差更可能来自多个中等偏差的和。换句话说，如果发生了一个很糟糕的事件，那么它应该来自一系列不太常见的事件，而不是来自单次极端事件，这正是平均斯坦遵循的逻辑。
图3.1 在高斯分布*下，出现两次K和一次2K标准差事件之间的比值。K越大，即越处于尾部，极端事件来自两次独立K事件的可能性越大，即P(K) 2 ，而来自一次2K事件的可能性越小。
*这是为教学而做的简化。更严谨的方法是比较出现两次K和一次2K+1标准差事件的比值——但上图的最终结果不变。
接下来我们转到极端斯坦，同样随机选取两个人，且他们的财富之和为3 600万美元。这时最可能的情况不是两人都有1 800万美元，而是一人拥有35 999 000美元，另一个人拥有1 000美元。
这个例子清晰地展示了两个大类之间的差异，对于亚指数类分布来说，破产更可能来自某次极端事件，而不是一系列糟糕事件的累积。这一逻辑在20世纪早期由精算学家菲利普·伦德伯格提出 [155] ，到20世纪30年代由哈拉尔德·克拉默整理完善 [51] ，对传统风险管理理论形成了巨大挑战。但如今，很多经济学家完全忽视了这一点。从保险的角度讲，分散化有效的前提是，损失更可能来自一系列事件而不是单个事件。
这一点也说明，保险只能在平均斯坦中起作用，在存在巨灾风险的情况下，永远不要出售一种损失无上限的保险，这一点被称为灾难原则。
正如我们之前所见，偏离中心很远的极端事件扮演了非常重要的角色。黑天鹅的核心并非“频繁出现”（这个词经常被这样误用），而在于出现时的影响更大。最肥的肥尾分布只会有一次非常大的极端偏离，而不是多次较大的偏离。下一章的图4.4显示，如果我们采用像高斯那样的分布并开始逐渐增肥尾部，那么超过给定标准差的样本数量就会下降。事件落在一个标准差范围内的概率是68%。随着尾部增肥，以金融市场的回报为例，一个事件落在一个标准差内的概率会上升到75%至95%。所以请注意，尾部增肥会让峰度更高，肩部缩小，发生大偏差的概率会增加。这是因为，概率之和为1（哪怕在法国也是如此），概率密度在某一区域的升高会导致另一区域密度的降低。