§3-1 点的投影

一、点的三面投影

如图3-1（a）所示， A 置于三面投影体系中，由 A 点分别作三个投影面的垂线，相应垂足 a′ 、 a 、 a″ 分别为 A 点的正面（ V 面）投影、水平面（ H 面）投影和侧面（ W 面）投影。规定点在空间的位置标注为大写的字母，如 A 、 B 、 C 等，点的正面投影规定用小写字母加一撇来表示，如 a′ 、 b′ 、 c′ 等，点的水平投影用小写字母来表示，如 a 、 b 、 c 等，点的侧面投影用小写字母加两撇来表示，如 a″ 、 b″ 、 c″ 等。

二、点的坐标

若将三面投影体系看成空间直角坐标系，即投影面为坐标面，投影轴为坐标轴， O 为坐标原点，则点的空间位置可用一组直角坐标值表示，如 A （ x ， y ， z ），其三个直角坐标值分别表示了空间点到三个投影面的距离。从图3-1（a）可以看出，点的直角坐标值与点的投影及点 A 到投影面的距离关系为：

点 A 的 x 坐标值等于点到 W 面的距离；

点 A 的 y 坐标值等于点到 V 面的距离；

点 A 的 z 坐标值等于点到 H 面的距离。

由此可知，点的 H 面投影由点的 x 、 y 两坐标值决定；点的 V 面投影由点的 x 、 z 两坐标值决定；点的 W 面投影由点的 z 、 y 两坐标值决定。

三、点的三面投影规律

从图3-1可知，点 A 的 V 面投影和 H 面投影共同反映点 A 的 x 坐标；点 A 的 V 面投影和 W 面投影共同反映点 A 的 z 坐标；点 A 的 W 面投影和 H 面投影共同反映点 A 的 y 坐标。由此可得知投影规律：

（1） a′a 的连线⊥ OX 轴（长对正）。

（2） a′a″ 的连线⊥ OZ 轴（高平齐）。

（3）水平投影 a 到 X 轴的距离等于侧面投影 a″ 到 Z 轴的距离（宽相等）。

由以上可知，点的一面投影反映点到两个投影面的距离，即点的两个坐标值，点的任意两面投影就可以反映点到三个投影面的距离，即点的三个坐标值。也就是说，点的两面投影即可确定点在空间的位置。

【 例 3 -1】如图3-2（a）所示，已知 B 点的两面投影 b′ 、 b ，求 b″ 。

分析 ：根据点的三面投影规律， b″ 点必位于过 b′ 而垂直于 OZ 轴的直线上，而且 b 点到 OX 轴的距离应等于 b″ 到 OZ 轴的距离。

作图：

（1）过 b′ 作 OZ 轴的垂线并延长。

（2）过 b 作 OY _H 轴的垂线并延长，与45°辅助线相交，过交点作 OY _W 轴的垂线并延长，与过 b′ 作 OZ 轴的垂线的延长线相交，交点即为 b″ 点。如图3-2（b）所示。

【 例 3 - 2 】已知空间点 K （30，10，20），试作 K 点的三面投影。

分析 ：根据点的投影与坐标的关系，可以由点的已知坐标定出各面投影的位置。水平面投影可由 X =30， Y =10确定；正面投影可由 X =30， Z =20确定；侧面投影可由 Y =10， Z =20确定。

作图：

（1）作相互垂直的投影轴，分别在各轴上截取 X =30， Y =10， Z =20，如图3-3（a）所示。

（2）由各坐标点分别作所在投影轴的垂线，分别交于 k 、 k′ 和 k″ 三点，即得 K 点的三面投影，如图3-3（b）所示。

四、两点的相对位置关系

两点的相对位置关系指的是两点的左右、前后和上下关系。由于点的 x 、 y 、 z 坐标分别反映了空间点相对于 W 、 V 、 H 三投影面的距离，因此只要比较两点的对应坐标值的大小，就能确定两点的相对位置。 X 值大者在左， Y 值大者在前， Z 值大者在上，如图3-4所示。 A 点在 B 点的右方、后方和上方。

五、重影点的绘制

当空间两点处于某一投影面的同一投影线上时，它们在该投影线垂直的投影面上的投影重合为一点，则称这两点是该投影面的重影点。重影点的空间条件是空间两点处在某一投影面的同一条投影线上，其坐标条件是有两个坐标值相同。规定不可见的投影要加圆括号，如图3-5所示。