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明渠非恒定流的计算通常采用一维圣维南方程组，该方程具有两个独立的变量，为一阶拟线性双曲型偏微分方程。目前该方程组在数学上尚无解析解，工程上大都采用简化的圣维南方程或者数值方法求解。明渠非恒定流的基本理论和基本技术已经成熟，但是还有许多问题没有解决，例如明满流交替问题、临界流问题、闸堰流边界的数值处理等问题。
特征线法是沿特征线构造数值网格，将双曲型偏微分方程组降阶为常微分方程组并用解析解求解，特征线法具有物理意义明确、数学意义直观的优点，但存在网格不规则、强间断、中间插值不足等问题。差分法是将圣维南方程组的微商用差商来表示，然后联解得到的线性方程组，求得近似解。显式格式是由当前已知时间层的数值推求下一时间层的数值，公式简单且易于编程实现，但该方法计算结果波动大，受时间步长Δ t 的限制。隐式差分格式求解要求用已知时间层的数值和下一时间层的数值，得出整个河网的线性方程，然后整体求解，该方法虽然求解上有难度，但其无条件稳定。有限体积法是通过控制解的总变差不增，保证数值解不出现震荡。综合以上，本书采用普列斯曼时空四点偏心格式对圣维南方程组进行离散并求解。
一维圣维南方程组由连续性方程和动量方程组成：
式中： x 和 t 为空间和时间坐标； q 为单位长度渠道上的侧向入流流量； α 为动量修正系数； S f 为水力坡度； A 为断面面积； Q 为断面流量； Z 为水位； S 0 为渠道底坡。
水力坡度可以根据流量模数计算确定：
式中： K 为流量模数。
采用Pressimann四点时空偏心格式，如图3.1所示。
图3.1 四点时空偏心格式示意图
式中： j 为河道节点编号，为1,2,…， j ,则有 j -1个河段； n 为时间步长序列编号； θ 为时间权重系数,0≤ θ ≤1.0; ψ 为空间权重系数,0≤ ψ ≤1.0。由式（3.4）、式（3.5）、式（3.6）、式（3.7）可得到如图3.1所示网格偏心点 M 的差商和函数在 M 点的值：
式中：Δ x 为计算空间步长；Δ t 为计算时间步长； f 为偏心点 M 处的值。
研究表明，当水流是缓流（
Fr
<1.0）时，圣维南方程组有两个特征根（
λ
1
>0）或者（
λ
2
<0），有
和
。
该格式的稳定条件为
如果参数选择不当，甚至会出现波动现象和不稳定的现象，在时空的偏心格式的使用时，最好是对连续性方程和动量方程使用不同的权重系数，可确保无条件稳定。
鉴于Pressimann四点时空偏心格式稳定性条件的限制，连续方程和动量方程对时间层离散都采用式（3.8），连续方程空间离散采用式（3.9），动量方程空间离散采用下式：
式中： ϕ 为连续方程时间离散权重； φ 为水力坡度的空间权重系数。
对圣维南方程组的动量方程和连续方程分别进行离散。
连续方程可以离散为
动量方程可以离散为
离散后的方程是非线性的，需要应用循环迭代离散后的连续方程和动量方程才能求解。通常存在两种求解离散非线性的方程的方法：①直接求解 h 和 Q ;②求解Δ h 和Δ Q 。本书采用第二种方法线性化处理离散后的方程，在循环求解过程中，用下式计算当前值： h = h * +Δ h , Q = Q * +Δ Q 。式中， h * 、 Q *代表上一个循环的变量值。
线性化连续方程用到如下关系式：
式中：带*号的变量为上一循环的变量值；Δ Q 、Δ A 、Δ h 分别为流量、过流面积和水深的增量； B 为过流水面宽度。
把式（3.16）、式（3.17）代入式（3.14）并整理得
式中：
线性化动量方程，要用到以下式子：
式中：K=AC
，此处的n为曼宁系数，则
将式（3.19）~式（3.23）代入式（3.15）并整理得
式中：
圣维南方程组经过以上差分格式差分并线性化处理，可得到式（3.18）和式（3.24）两个线性方程。