第一节
勾股定理（毕达哥拉斯定理）的中西起源

关于中西文化起源的问题，一直是中外学界持续争论的话题。在数学史领域，勾股定理是最早的数学证明，典型地体现了数学的证明精神。如下试图阐明，勾股定理的普遍性表述和证明带有明显的中西文化差异，应当看作各自独立起源。

一、定理发现的标准及其应用

定理发现的标准至少有三个层次。一是特例表述，二是普遍化表述，三是证明。与此对应的是，勾股定理发现的判定标准也至少有这三个层次。

第一，我们容易把“勾三股四径五”看作勾股定理的发现，这有违数学定理的命名原则，第一个层次的特例表述很难看作定理发现。大凡数学定理的命名都不是以具体的特例表达作为原则，比如，所有平面三角形的内角和都是180度，这是一条几何学定理。这一定理并不涉及具体的特例，无论某一个角是170度还是160度，都不影响到所有平面三角形的内角和都是180度的结论。换言之，勾股定理不应当只是（3，4，5）的具体数值，涉及具体数值的特例表述不应当命名为数学定理。

1952年，前辈学者章元龙明确否定特例表述作为定理命名的标准，认为“在没有发现普遍性的假借和设定之前，在一个考据者的立场，万不可根据后来的知识，自己主观的认为既有特殊的假借和设定”，首先，“第一个重要的意义是‘普遍性’”，而不是特例；其次，“第二重要意义是有‘证明’”，完成定理的证明。 因此，中国最早的数学典籍《周髀算经》开篇中商高的“勾广三，股修四，径隅五”只是一个特例，它不是普遍化的表述，不可看作勾股定理的最早发现。

第二，按照最严格的，也是最狭义的定理发现标准，只有第三个层次——证明才被看作定理发现。按照这一标准，毕达哥拉斯学派的证明要比勾股定理的证明早四五个世纪，毕达哥拉斯学派晚期实现了定理的证明，“关于毕达哥拉斯派几何里有没有证明这一问题，最合理的结论是：在该学派存在的大部分时间里，他们是根据一些特例来肯定所得的结果的。不过到了学派晚期即公元前400年左右，由于其他方面的发展，证明在数学中所处的地位改变了；所以学派晚期的成员可能作出了合法的证明”。 商高和陈子都不符合命名定理的上述条件，三国时期的赵爽完成勾股定理的证明，比毕达哥拉斯学派要晚五个世纪。按照发现优先权的命名原则，勾股定理的提法是不存在的。科学只有第一，没有第二。值得注意的是，倾力于中国科学技术史研究的李约瑟（Joseph Needham）并没有采用勾股定理的称谓，而是使用“毕达哥拉斯定理”称谓，采用了“《周髀算经》中对毕达哥拉斯定理的证明” 的提法，将《周髀算经》看作对毕达哥拉斯定理的证明。这或许暗示着，李约瑟相信毕达哥拉斯学派的证明早于赵爽的证明。

把证明作为数学定理的发现，这似乎有违常理。在我们的文化习惯中，更倾向于把普遍性表述看作发现的标准，而很少或者难以接受把证明作为定理发现的标准。这看起来似乎有一定的道理。比如，费马大定理是以定理的发现者命名，而不是以证明者命名。然而，证明作为数学定理的发现，是一个最狭义的标准，也是最强硬和坚决彻底的标准——证明体现着数学的本质，证明体现的是必然性的逻辑演绎过程，普遍性的表述有可能仅仅是经验的归纳。麦克莱伦第三（James E. McClellan Ⅲ）认为：“有关这些发现的更为重要的方面是数学证明在显示那些发现的必然性上所起到的作用。运用演绎推理和证明，即便是最持怀疑态度的挑剔者也会被迫一步一步地同意，最后不得不承认‘证讫’（‘已如此证明过了’）。这种方法是数学、逻辑学和科学的历史上特别值得重视的发明。”

西方数学史家高度重视演绎证明的价值，这似乎是违背我们习惯的做法，但这是古希腊人需要“真理”的表现，也是数学领域毕达哥拉斯定理证明最重要的思想史价值，毕达哥拉斯学派在演绎证明中完成了“了不起的一步”。数学史家克莱因（Morris Kline）认为：“希腊人坚持要演绎证明，这也确是了不起的一步。在世界上的几百种文明里，有的的确也搞出了一种粗陋的算术和几何。但只有希腊人才想到要完全用演绎推理来证明结论。需要用演绎推理的这种决心是同人类在其他一切领域里的习惯做法完全违背的；它实际上几乎象件不合理的事，因为人类凭经验、归纳、类比和实验已经获得了那么多高度可靠的知识。但希腊人需要真理，并觉得只有用无容置疑的演绎推理法才能获得真理。他们又认识到要获得真理就必须从真理出发，并且要保证不把靠不住的事实当作已知。因此他们把所有公理明确说出，并且在他们的著作中采取一开头就陈述公理做法，使之能马上进行批判考察。”

第三，第二个层次的普遍性表述也被看作定理的发现，这是中国学者易于接受的数学定理命名原则，如前叙章云龙的理解，这也是西方学者可以接受的较为宽泛的数学定理命名原则。按照普遍性表述的命名标准，中西关于勾股定理的发现优先权是一个有争议的问题，其分歧在于到底是按照成书年代还是书中人物的年代作为标准。《周髀》卷上之二中，陈子在与荣方的对答中说，“若求邪（斜）至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日”，这是勾股定理的普遍化形式。如果按照《周髀算经》的成书年代——汉代，迟于古希腊欧几里德（Euclid）的《几何原本》；如果按照《周髀算经》中的人物——陈子的年代，至迟为公元前七或六世纪，大约与古希腊毕达哥拉斯学派早期在同一个时代。按照成书年代还是书中人物的年代为标准，陈子到底是公元前七世纪真有其人还是后世所伪托，由于没有令人信服的历史考察，这是成疑的历史。

把普遍性表述作为数学定理的命名标准，随之带来另外一个问题，定理的普遍性表述一定早于定理的证明吗？伽利略相信，定理的发现早于证明，它构成证明的必要条件。“你可以相信，毕达哥拉斯远在他以百牛祭庆祝他发现一条几何证明之前，早就肯定直角三角形对直角一边（斜边）的平方等于另外两边的平方之和了。结论肯定后，在发现它的证明上是帮助不小的——这里总是指经验科学。” 先有证实，后有证明。定理的发现早于证明，这似乎具有逻辑必然性。“所以如此，是因为当结论是真实时，人们就可以使用分析方法探索出一些已经证实的命题，或者找到某种自明的公理；但如果结论是错误时，人们就可以永远探索下去而找不到任何已知的真理——即使不弄到碰壁或者碰上某种明显谬误的话。”

此处的问题是，特例表述需要有证明吗？普遍性表述一定早于定理的证明，它暗含的假定是，特例表述仅仅只是经验的判断，只有普遍性表述才必须证明。然而，很多数学定理的特例表述绝非简单的经验判断，比如，如果勾股数高达万位，甚至更高，这就超越了简单的经验，特例表述很可能有相应的计算或合理理由的说明。

二、巴比伦数表是否意味着毕达哥拉斯定理的发现？

上述关于古代中国勾股定理与古希腊毕达哥拉斯定理的三个层次分析，已经展现出数学定理的复杂性。这只是限于以往材料的理解，如果我们充分重视两则新材料，一是巴比伦泥版Plimpton 322号的研究状况，二是曲安京等人关于周髀算经中商高与周公对话的新阐释，勾股定理的中西比较呈现出更为有趣的中西文化差异，以及关于数学本质的复杂理解。

第一则材料是美国哥伦比亚大学所藏的Plimpton 322号巴比伦泥版。在20世纪之前，西方学者相信，古希腊毕达哥拉斯学派是在埃及文明的基础上发展出证明的方法，而没有注意到巴比伦人已经取得了令人惊讶的数学成就。比如，数学史家克莱因谨慎地写道：“我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理。我们知道他们有拉绳人（测量员），但所传他们在绳上打结，把全长分成长度各为3、4、5的三段，然后用来形成直角三角形之说，则从未在任何文件上得证实。” 丹皮尔（W. C. Dampier）认为：“欧几里德几何学第一册的第四十七命题现在还称为毕达哥拉斯定理。画直角的‘绳则’也许早已在埃及和印度凭经验发现了，但是，很可能到毕达哥拉斯，才第一次用演绎的方法证明直角三角形斜边的平方等于它两边平方之和。”

1945年，美国数学史家诺伊格鲍尔（Otto Neugebauer）细致考察了Plimpton 322号泥版，考证出巴比伦人在汉穆拉比时代（约前1700）已经发现毕达哥拉斯数组，并且达到极高的程度，由此激发起关于毕达哥拉斯数组究竟是特例表述还是普遍性表述，到底是代数表述还是具有几何学意义的一系列新的问题。这块泥版有15行、4列数字。巴比伦是六十进制，它可以换算为十进制；巴比伦是从右边向左边书写数表。

如下是笔者根据巴克（Creighton Buck）论文 ^[1] 换算而编制的数表：

诺伊格鲍尔发现：第3列数（C）与第2列数（B）的平方差都是平方数，如：169 ² -119 ² =120 ² （第1行），最大的是18541 ² -12709 ² =13500 ² （第4行）。泥版只有四处不满足这一规律，猜测是祭司抄写错误所致（表中括号内为错误数字，旁边添加了正确数字）。巴克认为，如果C+B=2a ² ，C-B=2b ² ，那么a和b的数值如数表最后一列所示。由此，B=a ² -b ² ，C=a ² +b ² 。令D=2ab，就形成了毕达哥拉斯数组，如下图所示。

如果以定理的普遍性表述作为定理发现的标准，巴比伦数表算不算毕达哥拉斯定理的发现呢？这里涉及两个问题，一是巴比伦数表是否暗含着普遍性的表述？二是巴比伦数表是否具有几何学意义？

关于第一个问题，上述巴比伦数表很有可能是用于帮助进行算学训练的泥版。高达万位的巴比伦数表已经不具有丈量土地等实用意义，它无法纯粹通过实践去测量达到。或许到百位的勾股数，甚至千位，都有可能依靠经验进行估算，高达万位的勾股数需要极其巨大的计算量，仅仅依靠日常经验的估算这几乎是难以达到的。

进一步的问题是，高达万位的勾股数是怎么计算出来的呢？有没有可能暗含着勾股定理的普遍性表述呢？笔者认为，高达万位的多个勾股数不可能偶然地计算出来，巴比伦人没有明确地阐明c ² =a ² +b ² 的普遍性表述，并不能够否定他们知道c ² =a ² +b ² ，清楚平方的概念，否则，这些无法借助直接测量的量是不可能计算出来的。

关于第二个问题，即便巴比伦数表暗含着巴比伦人掌握了c ² =a ² +b ² 的普遍性表述，这仅是一个代数数组，还是一个几何定理？如果仅是一个代数数组，能否称之为毕达哥拉斯定理呢？麦金农（Nick Mackinnon）使用了巴比伦时期的另外一块泥版（如下图所示），表明了巴比伦借助几何技巧帮助实现数学求解。 ^[2] 巴比伦数组的意义很可能在于帮助设计或者求解与直角三角形有关的方程或者代数问题。克莱因在巴比伦数表发现前就相信，埃及人和巴比伦人只是把几何作为实用工具，“埃及人的几何是怎样的呢？他们并不把算术和几何分开，草片文书中都有这两方面的问题。埃及人也像巴比伦人那样，把几何看作实用工具。他们只是把算术和代数用来解有关面积、体积及其他几何性质的问题”。

巴比伦人没有明确表述巴比伦数表的几何意义，他们又确实利用了几何图形帮助理解巴比伦数表。在西方思想传统中，它实质是代数而不是几何。在笔者看来，毕达哥拉斯定理的表述未必应当以代数和几何的明确区分为标准，这只是表明数表的用途和目标，巴比伦人的上述几何图形暗含着毕达哥拉斯定理的表述。

概言之，巴比伦数表暗含着毕达哥拉斯定理的普遍性表述，其几何图形的运用暗含着毕达哥拉斯定理的几何意义。笔者倾向于认为巴比伦人已经掌握了关于毕达哥拉斯定理的基本观念。

三、《周髀算经》的重新解读

第二则新的阐释出自《周髀算经》第一章中的周公与商高的对话。具体如下：周公问：“窃闻乎大夫善数也，请问古者包牺立周天历度。夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数从安出？”商高答：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一，故折矩也以为勾广三，股修四，径隅五。既方之外，半其一矩，环而共盘。得成三、四、五，两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。”

传统的认识主要集中在“勾广三，股修四，径隅五”的解读，当前的新研究集中于“既方之外，半其一矩，环而共盘。……是谓积矩”的解读。西北大学曲安京教授综合前辈学者——美国加州大学圣地亚哥分校物理学家程贞一，中国台湾学者陈良佐，中国大陆西北大学学者李继闵——的意见后认为，商高已经给出了勾股定理的一般性证明。“既方其外，半其一矩，环而共盘。……是谓积矩”的证明过程可以分为如下四个步骤：“从图4到图6（参见下图），整个过程与勾股弦三边的具体设定数值是没有关系的。毫无疑问，这是勾股定理的一个严格的证明。而商高以勾三股四弦五为例，演示这个构造性证明的程序，正好符合中算家一贯采用的‘寓理于算’的传统风格，所以说，商高给出的决不仅仅是一则勾股形的特例，事实上，商高已经成功地完成了对勾股定理的一般性证明。”

值得注意的是，上述商高的对话仅有勾股定理的特例表述，没有勾股定理的普遍性表述，却有勾股定理的证明，它不符合伽利略所说的定理发现早于定理证明的观点。换言之，《周髀算经》中上述商高的对话既包括特例表述，又包括定理证明，却没有普遍性表述，是有违“常理”的。此常理应当说是当代的常理，它遵循着先有特例，其次有普遍性表述，然后证明的先后顺序。这是按照当代的观点，或者西方的观点理解中国古代的数学思想。

古代中国的数学未必在所有情况下都遵循着这一原则，它一直采用“寓理于算”的传统思路。上述的“理”（即当代所说的证明）只是给商高所说的“勾广三，股修四，径隅五”提供一个理由，这一个理由不是丈量土地之类的经验意义的证实，它是从学理上给出一个说明。当代的证明往往是针对普遍性的表述给出证明，古代中国的“理”，是大凡一事都应当有一个逻辑的说明。换言之，“勾广三，股修四，径隅五”不是依靠着丈量而出，它是依靠着上述逻辑推论和计算得出的必然性结论。这符合数学本质是证明的思路。

另外一个值得重视的问题是，上述商高关于定理的证明是通过计算而实现的，这是“寓理于算”思路的明显体现（此后三国时期赵爽的证明也是“寓理于算”的类似思路）。

勾 ² +股 ² +2×勾×股（两个长方形面积）=正方形面积

径 ² +2×勾×股（四个三角形面积）=正方形面积

→勾 ² +股 ² =径 ²

与此对照的是，古希腊人的证明不是通过计算得到，他们是通过面积替换的纯粹几何方法（与计算无关）而得到。如下是欧几里德《几何原本》中的证明步骤：

古代中国和古希腊究竟是关于勾股定理的不同证明思路，还是否定另外一种文明的证明思路呢？亚里士多德（Aristotle）在《后分析》第一卷第七章中强调，论证事物不能超越其类的事物作为出发点。“属于几何学的问题，不能用算术来证明。”“从一个种跨到另一个种不可能证明一个事实，例如通过算术证明几何命题。证明有三个因素：（1）有待于证明的结论（它是就自身而归属于某个种的属性）；（2）公理（公理是证明的基础）；（3）载体性的种及其规定即依据自身的属性由证明揭示。如果种互不相同，如算术和几何，即使证明的基础是同一的，算术的证明也不可能适用于量值的属性，除非量值是数目。” 如果亚里士多德的观点是正确的，那么中国“寓理于算”的思路本质上不可能完成勾股定理的证明，这实际上取消和否定了整个古代中国的数学传统。不仅《周髀算经》，而且其后三国时期的赵爽，乃至于中国“形数合一”，阻碍了几何原理的证明。这有违古代中国的事实。

算数与几何证明是无关的，这是古希腊的数学证明传统。毕达哥拉斯定理的证明是一个明证，这也是人类思想史领域的重要发展。能够运用几何方法证明代数的结论是一个重要的进展。能够纯粹用几何方法证明几何结论，也是古希腊人对人类数学的贡献。英国哲学家罗素（William Russell）认为：“这就使得希腊的数学家们坚信，几何学的成立必定是独立的而与算学无关。柏拉图（Plato）对话录中有几节可以证明，在他那时候已经有人独立地处理几何学了；几何学完成于欧几里德。欧几里德在第二编中从几何上证明了许多我们会自然而然用代数来证明的东西，例如（a+b） ² =a ² +2ab+b ² 。”

承认古希腊的几何与代数分离传统的价值，不应当以否定古代中国数学传统为代价。吴文俊先生认为：“与希腊欧几里德几何的形数割裂者恰恰相反，我国在数学发展过程中自始至终是把空间形式与数量关系融合在一起的，因而数系统的建立与臻于完备，以及代数学的发生发展，也始终与几何学的发展贯穿在一起。到宋元之世天元——也即未知数概念的明确引入，代数式与其代数运算的阐明，以及几何代数化方法的逐渐成熟，更为解析几何的创立开辟了道路。” 中国的勾股定理证明不是按照古希腊数学的方式发展，它是按照数形统一的方式进行证明，几何学与算学是联系在一起的。商高的证明如此，赵爽的证明也是如此。

如果承认吴文俊先生的看法是对的，如果承认古代中国数学传统的合理性，那么亚里士多德“算术不可能完成几何证明”的观点也有可能是错误的。亚里士多德错误的原因是，他可以断言自己文明的合理性，强调几何学与代数学分离的重要性，以及纯粹几何学证明的合理性。但是他不能断言其他文明的多元可能性。从逻辑上讲，断言“不可能”，断言“无”，是极其困难的。亚里士多德断言几何命题不可能通过算学证明，这背离了古代中国的具体事实。笔者同意吴先生的判断，应当从古代中国的具体事实出发去理解。古希腊的贡献是重要的，但不是唯一的，甚至也不是唯一的标准。从中国的观点和立场出发，有助于反思古希腊的若干重要观点，甚至能够修正亚里士多德的局部错误，从而发展出一种更为全面、更具有全球性的理解。这是古代中西交流和古代中西比较的重要价值。

站在中国的立场上，我们并没有否定古希腊的价值，而是同时承认多种文化、不同思想传统的价值。这一点是重要的，我们认可古希腊几何学与算学分离的意义，只是我们也同时承认几何学与算学的结合，即“寓理于算”的重要性。

四、最后的结论

笔者认为古巴比伦人已经掌握了毕达哥拉斯定理的普遍性表述，只是他们没有明确地表述出来。笔者认为曲安京的观点是合理的，即中国最早的数学著作《周髀算经》中商高的对话已经具有勾股定理的证明，其时间是公元前7世纪，早于毕达哥拉斯学派晚期在公元前4世纪的证明。

上述中西关于勾股定理的发现如果停留于优先权的争论没有实质性意义，因为中西方的证明思路完全不同，各自的数学具有独立起源和不同的数学传统。比较发现时间的意义，更多体现在帮助理解人类整体文化的发展上，如《九章算术》与《几何原本》差不多在同一时期出现，更早一些，古希腊与春秋战国两大文化高潮也几乎在同一时期涌现。如果是东西文化独立发现，无论时间早一些或者晚一些，都属于原始性创新，体现出各自的不同文化特质：古代中国形成形数统一的传统，埃及人也没有把算术与几何分开；古希腊则是算术与几何证明分离的传统。在古希腊罗马世界，希腊与埃及、巴比伦的近东世界有着充分的交流，先有巴比伦数组，后有毕达哥拉斯定理的证明，古希腊的证明是在埃及和巴比伦基础上的推进。时至今日，仍然有西方数学家坚持认为，严格的数学证明在计算情况下没有意义。海明认为：“数学的研究对象，以及其规范等等，常常并不适应于计算，不适应于数学的各种应用。……计算过程是最基本的，而严格的数学证明在计算情况下常常是无意义的。”

古希腊与中国各自不同的证明思路，在一定程度上佐证了各自的独立发现。古希腊与中国存在着山脉、海洋、沙漠这些天然的地理阻隔。现在很难有确定的证据，显示古希腊或者埃及、巴比伦与中国的数学交流（中国与古巴比伦的天文学交流一直都是争论的问题）。但是一个明显的事实是，中国表现出与古希腊不同的证明思路。古代中国的“寓理于算”也是一种值得重视的数学思路，“算”术是重要的，算是具体的，普遍性表述不是证明的必要条件。“算”术不是简单的计算，或是仅仅依靠经验得以证实，它也需要学理的说明，需要必然性的逻辑推导。这是关于具体之“算”的“理”，也是“寓理于算”的思路。普遍性表述和证明的更重要的价值，不是它的独立存在，而是为“算”提供说明和论证。

古代中国的数学传统是以“算”学为中心，普遍性表述和证明都是为了“算”而服务的，“算”的重要性高于普遍性表述和证明。如果我们过高地理解普遍性表述和证明的价值，难免会用今天的眼光去理解古代的历史。科学史家林德伯格（David C. Lindberg）认为：“如果科学史家只把过去那些与现代科学相仿的实践活动和信念作为他们的研究对象，结果将是历史的歪曲。这一歪曲之所以在所难免，因为科学的内容、形式、方法和作用都已发生了变化。这样，历史学家面对的就不是一个过去实存的历史，而是透过不完全相符的网格去看历史。如果我们希望公正地从事历史研究这一事业，就必须把历史真实本身作为我们研究的对象。这就意味着我们必须抵抗诱惑，不在历史上为现代科学搜寻榜样或先兆。我们必须尊重先辈们研究自然的方式，承认这种方式尽管与现代方法相去甚远，却仍是重要的，因为它是我们现代人理智生活的先驱。这才是理解我们现在之所以是这个样子的惟一合理途径。” AWCUJS/k9PUHqshouaYCAED4GJoLt1dAlIOErm9521nHosk6AId9yhccy75Ot8c9