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在阅读本文之初，读者们即应懂得，尽管古老的托勒密天文学假说已经在普尔巴赫（Peuerbach）的《关于行星的新理论》（
Theoricae novae planetarum
）
以及其他概要著作中得到了阐述，但却与我们目前的研究毫不相同，我们应当从心目中将其驱除干净，因为它们既不能给出天体的真实排列，又无法为支配天体运动的规律提供合理的说明。
我只能单纯用哥白尼关于世界的看法代替托勒密的那些假说，如果可能，我还要让所有人都相信这一看法，因为许多普通研究者对这一思想依然十分陌生，在他们看来，地球作为行星之一在群星中围绕静止不动的太阳运行，这种说法是相当荒谬的。那些为这种新学说的奇特见解所震惊的人应当知道，这些关于和谐的思索即便在第谷·布拉赫的假说中也占有一席之地，因为第谷赞同哥白尼关于天体排列以及支配天体运动的规律的每一观点，只是单把哥白尼所坚持的地球的周年运动改成了整个行星天球体系和太阳的运动，而哥白尼和第谷都认为，太阳位于体系的中心。虽然经过了这种运动的转换，但在第谷体系和哥白尼体系中，地球在同一时刻所处的位置都是一样的，即使它不是在广袤无垠的恒星天球区域，至少也是在行星世界的体系中。正如一个人转动圆规的画脚可以在纸上画出一个圆，他若保持圆规画脚或画针不动，而把纸或木板固定在运转的轮子上，也能在转动的木板上画出同样的圆。现在的情况也是如此，按照哥白尼的学说，地球由于自身的真实运动而在火星的外圆与金星的内圆之间划出自己的轨道；而按照第谷的学说，整个行星体系（包括火星和金星的轨道在内）就像轮子上的木板一样在旋转着，而固定不动的地球则好比刻纸用的铁笔，在火星与金星圆轨道之间的空间中保持静止。由于体系的这种运动，遂使静止不动的地球在火星和金星之间绕太阳画出的圆，与哥白尼学说中由于地球自身的真实运动而在静止的体系中画出的圆相同。再则，因为和谐理论认为，从太阳上看去行星是在作偏心运动，我们遂不难理解，尽管地球是静止不动的（姑且按照第谷的观点认为如此），但如果观测者位于太阳上，那么无论太阳的运动有多大，他都会看到地球在火星与金星之间画出自己的周年轨道，运行周期也介于这两颗行星的周期之间。因此，即使一个人对于地球在群星间的运动难思难解、疑信参半，他还是能够满心情愿地思索这无比神圣的构造机理，他只须把自己所了解的关于地球在其偏心圆上所做的周日运动的知识，应用于在太阳上所观察到的周日运动（就像第谷那样把地球看作静止不动所描述的那种运动）即可。
然而，萨摩斯哲学
的真正追随者们大可不必去羡慕这些人的此等冥思苦想，因为倘使他们接受太阳不动和地球运动的学说，则必将从那完美无缺的沉思中获得更多的乐趣。
首先，读者应当知道，除月球是围绕地球旋转的以外，所有行星都围绕太阳旋转，这对于当今所有的天文学家来说都已成为一个毋庸置疑的事实；月球的天球或轨道太小，以致无法在图中用与其他轨道相同的比例画出。因此，地球应作为第六个成员加入其他五颗行星的行列，无论认为太阳是静止的而地球在运动，还是认为地球是静止的而整个行星体系在旋转，地球本身都描出环绕太阳的第六个圆。
其次，还应确立以下事实：所有行星都在偏心轨道上旋转，也就是说，它们与太阳之间的距离是变化的，并且在一段轨道上离太阳较远，而在相对的另一段轨道上离太阳较近。在附图中，每颗行星都对应着三个圆周，但没有一个圆周代表该行星的真实偏心轨道。以火星为例，中间一个圆的直径 BE 等于偏心轨道的较长直径，火星的真实轨道 AD ，切三个圆周中最外面的一个 AF 于 A 点，切最里面的一个 CD 于 D 点。用虚线画出的经过太阳中心的轨道 GH ，代表太阳在第谷体系中的轨道。如果太阳沿此路径运动，则整个行星体系中的每一个点也都在各自的轨道上做同样的运动。并且，如果其中的一点（太阳这个中心）位于其轨道上的某处，比如图中所示的最下端，则体系中的每一点也都将位于各自轨道的最下端。由于图幅狭窄，金星的三个圆周只能姑且合为一个。
第三，请读者回想一下，我在22年前出版的《宇宙的奥秘》一书中曾经讲过，围绕太阳旋转的行星或圆轨道的数目是智慧的造物主根据五种正立体择取的。欧几里得（Euclid）在许多个世纪以前就写了一本书论述这些正立体，因其由一系列命题所组成，故名为《几何原本》（
Elements
）。但我在本书的第二卷中已经阐明，不可能存在更多的正立体，也就是说，正平面图形不可能以五种以上的方式构成一个立体。
第四，至于行星轨道之间的比例关系，很容易想见，相邻的两条行星轨道之比近似地等于某种正立体的单一比例，即它的外接球与内切球之比。但正如我曾就天文学的最终完美所大胆保证的，它们并非精确地相等。在根据第谷·布拉赫的观测最终证实了这些距离之后，我发现了如下事实：如果置立方体的各角于土星的内圆，则立方体各面的中心就几乎触及木星的中圆；如果置四面体的各角于木星的内圆，则四面体各面的中心就几乎触及火星的外圆；同样，如果八面体的角张于金星的任一圆上（因为三个圆都挤在一个非常狭小的空间里），则八面体各面的中心就会穿过并且落在水星外圆的内部，但还没有触及中圆；最后，与十二面体及二十面体的外接圆与内切圆之比——这些比值彼此相等——最接近的，是火星与地球的各圆周，以及地球与金星的各圆周之间的比值或间距。而且，倘若我们从火星的内圆算到地球的中圆，从地球的中圆算到金星的中圆，则这两个间距也几乎是相等的，因为地球的平均距离是火星的最小距离与金星的平均距离的比例中项。然而，行星各圆周间的这两个比值还是大于立体形的这两对圆周间的比值，所以正十二面体各面的中心不能触及地球的外圆，正二十面体各面的中心不能触及金星的外圆。而且这一裂隙还不能被地球的最大距离与月球轨道半径之和，以及地球的最小距离与月球轨道半径之差所填满。不过，我发现还存在着另一种与立体形有关的关系：如果把一个由十二个五边形所组成，从而十分接近于那五种正立体的扩展了的正十二面体（我称之为“海胆”）的十二个顶点置于火星的内圆上，则五边形的各边（它们分别是不同的半径或点的基线）将与金星的中圆相切。简而言之，立方体和与之共轭的八面体完全没有进入它们的行星天球，十二面体和与之共轭的二十面体略微进入它们的行星天球，而四面体则刚好触及两个行星天球：行星的距离在第一种情况下存在亏值，在第二种情况下存在盈值，在第三种情况下则恰好相等。
由此可见，仅由正立体形并不能推导出行星与太阳的距离之间的实际比例。这正如柏拉图所说，几何学的真实发源地即造物主“实践永恒的几何学”而从不偏离他自身的原型。
的确，这一点也可由如下事实得出：所有行星都在固定的周期内改变着各自的距离，每颗行星都有两个与太阳之间的特征距离，即最大距离与最小距离。因此，对于每两颗行星到太阳的距离可以进行四重比较，即最大距离之比、最小距离之比、彼此相距最远时的距离之比、彼此相距最近时的距离之比。这样，对于所有两两相邻的行星的组合，共得二十组比较，然而另一方面，正立体形却总共只有五种。有理由相信，如果造物主注意到了所有轨道的一般关系，那么他也将注意到个别轨道的距离变化，并且两种情况下所给予的关注是同样的而且是彼此相关的。只要我们认真考虑这一事实，就必定能够得出以下结论：要想同时确定轨道的直径与偏心率，除了五种正立体以外，还需要有另外一些原理做补充。
第五，为了得出能够确立起和谐性的诸种运动，我再次提请读者铭记我在《火星评注》（ Commentaries on Mars ）中根据第谷·布拉赫极为可靠的观测记录已经阐明的如下事实：行星经过同一偏心圆上的等周日弧的速度是不相等的；随着与太阳这个运动之源的距离的不同，它经过偏心圆上相等弧的时间也不同；反之，如果每次都假定相等的时间，比如一自然日，则同一偏心圆轨道上与之相应的真周日弧与各自到太阳的距离成反比。同时我也阐明了，行星的轨道是椭圆形的，太阳这个运动之源位于椭圆的其中一个焦点上；由此可得，当行星从远日点开始走完整个圆轨道的四分之一的时候，它与太阳的距离恰好等于远日点的最大值与近日点的最小值之间的平均距离。由这两条原理可知，行星在其偏心圆上的周日平均运动与当它位于从远日点算起的四分之一圆周的终点时的瞬时真周日弧相同，尽管该实际四分之一圆周似乎较严格四分之一圆周为小。进一步可以得到，偏心圆上的任何两段真周日弧，如果其中一段到远日点的距离等于另一段到近日点的距离，则它们的和就等于两段平周日弧之和；因此，由于圆周之比等于直径之比，所以平周日弧与整个圆周上所有平周日弧（其长度彼此相等）总和之比，就等于平周日弧与整个圆周上所有真偏心弧的总和之比。平周日弧与真偏心弧的总数相等，但长度彼此不同。当我们预先了解了这些有关真周日偏心弧和真运动的内容之后，就不难理解从太阳上观察到的视运动了。
第六，然而关于从太阳上看到的视弧，从古代天文学就可以知道，即使几个真运动完全相等，当我们从宇宙中心观测时，距中心较远（例如在远日点）的弧也将显得小些，距中心较近（例如在近日点）的弧将显得大些。此外，正如我在《火星评注》中已经阐明的，由于较近的真周日弧由于速度较快而大一些，在较远的远日点处的真周日弧由于速度较慢而小一些，由此可以得到，偏心圆上的视周日弧恰好与其到太阳距离的平方成反比。举例来说，如果某颗行星在远日点时距离太阳为10个单位（无论何种单位），而当它到达近日点从而与太阳相冲时，距离太阳为9个单位，那么从太阳上看去，它在远日点与近日点的视行程之比必定为81 : 100。
但上述论证要想成立，必须满足如下条件：首先，偏心弧不大，从而其距离变化也不大，也就是说从拱点到弧段终点的距离改变甚微；其次，偏心率不太大，因为根据欧几里得《光学》（ Optics ）的定理8，偏心率越大（弧越大），其视运动角度的增加较之其本身朝着太阳的移动也越大。不过，正如我在我的《光学》第11章中所指出的，如果弧很小，那么即使移动很大的距离，也不会引起角度明显的变化。然而，我之所以提出这些条件，还有另外的原因。从日心观测时，偏心圆上位于平近点角附近的弧是倾斜的，这一倾斜减少了该弧视象的大小，而另一方面，位于拱点附近的弧却正对着视线方向。因此当偏心率很大时，似乎只有对于平均距离，运动才显得同本来一样大小，倘若我们不经减小就把平均周日运动用到平均距离上，那么各运动之间的关系显然就会遭到破坏，这一点将在后面水星的情形中表现出来。所有这些内容，在《哥白尼天文学概要》第五卷中都有相当多的论述，但仍有必要在此加以说明，因为这些论题所触及的正是天体和谐原理本身。
第七，倘若有人思考地球而非太阳上的观察者所看到的周日运动（《哥白尼天文学概要》的第六卷讨论了这些内容），他就应当知道，这一问题尚未在目前的探讨中涉及。显然，这既是无须考虑的，因为地球不是行星运动的来源；同时也是无法考虑的，因为这些相对于虚假视象的运动，不仅会表现为静止或留，而且还会表现为逆行。于是，如此种种不可胜数的关系就同时被平等地归于所有的行星。因此，为了能够弄清楚建立于各个真偏心轨道周日运动基础上的内在关系究竟如何（尽管在太阳这个运动之源上的观测者看来，它们本身仍然是视运动），我们首先必须从这种内在运动中分离出全部五颗行星所共有的外加的周年运动，而不管此种运动究竟是像哥白尼所宣称的那样，起因于地球本身的运动，还是如第谷所宣称的那样，起因于整个体系的周年运动。同时，必须使每颗行星的固有运动完全脱离外表的假象。
第八，至此，我们已经讨论了同一颗行星在不同时间所走过的不同的弧。现在，我们必须进一步讨论如何对两颗行星的运动进行比较。这里先来定义一些今后要用到的术语。我们把上行星的近日点和下行星的远日点称为两行星的最近拱点，而不管它们是朝着同一天区，还是朝着不同的乃至相对的天区运行。我们把行星在整个运行过程中最快和最慢的运动称为极运动，把位于两行星最近拱点处（上行星的近日点和下行星的远日点）的运动称为收敛极运动或逼近极运动，把位于相对拱点处（上行星的远日点和下行星的近日点）的运动称为发散极运动或远离极运动。我在22年前由于有些地方尚不明了而置于一旁的《宇宙的奥秘》中的一部分，必须重新加以完成并在此引述。因为借助于第谷·布拉赫的观测，通过黑暗中的长期摸索，我弄清楚了天球之间的真实距离，并最终发现了轨道周期之间的真实比例关系。这真是——
虽已姗姗来迟，仍在徘徊观望，
历尽茫茫岁月，终归如愿临降。 [1]
倘若问及确切的时间，应当说，这一思想发轫于今年即公元1618年的3月8日，但当时计算很不顺意，遂当作错误置于一旁。最终，5月15日来临了，我又发起了一轮新的冲击。思想的暴风骤雨一举扫除了我心中的阴霾，我在第谷的观测上所付出的17年心血与我现今的冥思苦想之间获得了圆满的一致。起先我还当自己是在做梦，以为基本前提中就已经假设了结论，然而，这条原理是千真万确的，即任何两颗行星的周期之比恰好等于其自身轨道平均距离的
次方之比，尽管椭圆轨道两直径的算术平均值较其长径稍小。举例来说，地球的周期为1年，土星的周期为30年，如果取这两个周期之比的立方根，再把它平方，得到的数值刚好就是土星和地球到太阳的平均距离之比。
因为1的立方根是1，再平方仍然是1；而30的立方根大于3，再平方则大于9，因此土星与太阳的平均距离略大于日地平均距离的9倍。在第9章中我们将会看到，这个定理对于导出偏心率是必不可少的。
第九，如果你现在想用同一把码尺测量每颗行星在充满以太的天空中所实际走过的周日行程，你就必须对两个比值进行复合，其一是偏心圆上的真周日弧（不是视周日弧）之比，其二是每颗行星到太阳的平均距离（因为这也就是轨道的大小）之比，换言之，必须把每颗行星的真周日弧乘以其轨道半径。只有这样得到的乘积，才能用来探究那些行程之间是否可以构成和谐比例。
第十，为了能够真正知道，当从太阳上看时这种周日行程的视长度有多大（尽管这个值可以从天文观测直接获得），你只要把行星所处的偏心圆上任意位置的真距离（而不是平均距离）的反比乘以行程之比，即把上行星的行程乘以下行星到太阳的距离，而把下行星的行程乘以上行星到太阳的距离，就可以得出所需的结果。
第十一，同样，如果已知一行星在远日点、另一行星在近日点的视运动，或者已知相反的情况，那么就可以得出一行星的远日距与另一行星的近日距之比。然而在这里，平均运动必须是预先知道的，即两个周期的反比已知，由此即可推出前面第八条中所说的那个轨道比值：如果取任一视运动与其平均运动的比例中项，则该比例中项与其轨道半径（这是已经知道的）之比就恰好等于平均运动与所求的距离或间距之比。设两行星的周期分别是27和8，则它们之间的平均周日运动之比就是8 : 27。因此，其轨道半径之比将是9 : 4，这是因为27的立方根是3，8的立方根是2，而3与2这两个立方根的平方分别是9与4。现在设其中一行星在远日点的视运动为2，另一行星在近日点的视运动为
。平均运动8和27与这些视运动的比例中项分别等于4和30。因此，如果比例中项4给出该行星的平均距离9，那么平均运动8就给出对应于视运动2的远日距18；并且如果另一个比例中项30给出另一行星的平均距离4，那么该行星的平均运动27就给出了它的近日距
。由此，我得到前一行星的远日距与后一行星的近日距之比为18 :
。因此显然，如果两行星极运动之间的和谐已经发现，二者的周期也已经确定，那么就必然能够导出其极距离和平均距离，并进而求出偏心率。
第十二，由同一颗行星的各种极运动也可以求出其平均运动。严格说来，平均运动既不等于极运动的算术平均值，也不等于其几何平均值，然而它小于几何平均值的量却等于几何平均值小于算术平均值的量的一半。设两种极运动分别为8和10，则平均运动将小于9，而且小于80的平方根的量等于9与80的平方根两者之差的一半。再设远日运动为20，近日运动为24，则平均运动将小于22，而且小于480的平方根的量等于22与480的平方根之差的一半。这条定理在后面将会用到。
第十三，由上所述，我们可以证明如下命题，它对于我们今后的工作将是不可或缺的：由于两行星的平均运动之比等于其轨道的
次方之比，所以两种视收敛极运动之比总小于与极运动相应的距离的
次方之比；这两个相应距离与平均距离或轨道半径之比乘得的积小于两轨道的平方根之比的数值，将等于两收敛极运动之比大于相应距离之比的数值；而如果该复合比超过了两轨道的平方根之比，则收敛运动之比就将小于其距离之比。
设轨道之比为
DH
:
AE
，平均运动之比为
HI
:
EM
，它等于前者倒数的
次方。设第一颗行星的最小轨道距离为
CG
，第二颗行星的最大轨道距离为
BF
，
DH
:
CG
与
BF
:
AE
的积小于
DH
:
AE
的平方根。再设
GK
为上行星在近日点的视运动，
FL
为下行星在远日点的视运动，从而它们都是收敛极运动。
我要说明的是，
GK : FL > BF : CG
GK
:
FL
<
CG
:
BF
因为
HI : GK = CG ² : DH ²
FL : EM = AE ² : BF ²
所以
HI
:
GK
comp.
FL
:
EM
=
CG
² :
DH
² comp.
AE
² :
BF
²
但根据假定，
CG
:
DH
comp.
AE
:
BF
<
AE
:
DH
两者相差一个固定的亏缺比例，于是把这个不等式的两边平方，便得到
HI : GK comp. FL : EM < AE : DH ，
其亏缺比例等于前一亏缺比例的平方。但根据前面的第八条命题，
HI
:
EM
=
AE
:
DH
，
把小了亏缺比例平方的比例除以
次方之比，也就是说，
HI
:
EM
comp.
GK
:
HI
comp.
EM
:
FL
>
AE
:
DH
两者相差盈余比例
的平方。而
HI : EM comp. GK : HI comp. EM : FL = GK : FL
因此
GK
:
FL
>
AE
:
DH
两者相差盈余比例的平方。但是
AE : DH = AE : BF comp. BF : CG comp. CG : DH
且
CG
:
DH
comp.
AE
:
BF
<
AE
:
DH
两者相差简单亏缺比例，因此
BF
:
CG
>
AE
:
DH
两者相差简单盈余比例。但是，
GK
:
FL
>
AE
:
DH
两者相差简单盈余比例的平方，而简单盈余比例的平方大于简单盈余比例，所以运动 GK 与 FL 之比大于相应距离 BF 与 CG 之比。
依照同样的方式，我们还可以相反地证明，如果行星在超过
H
和
E
处的平均距离的
G
和
F
处彼此接近，以至于平均距离之比
DH
:
AE
变得比
DH
:
AE
还要小，那么运动之比
GK
:
FL
就将小于相应距离之比
BF
:
CG
。要证明这一点，你只需把大于变为小于，＞变为＜，盈余变为亏缺，一切颠倒过来。
对于前面所引数值，
的平方根是
，
比
大出盈余比例
，8 : 9的平方是1600 : 2025即64 : 81，4 : 5的平方是3456 : 5400即16 : 25，最后，4 : 9的
次方是1600 : 5400即8 : 27，于是，2025 : 3456即75 : 128要比5 : 8即75 : 120大出同样的盈余比例（120 : 128）15 : 16；因此，收敛运动之比2025 : 3456大于相应距离的反比5 : 8的量等于5 : 8大于轨道之比的平方根2 : 3的量。或者换句话说，两收敛距离之比等于轨道平方根之比与相应运动的反比的平均值。
我们还可以由此推出，发散运动之比远远大于轨道的
次方之比，这是因为轨道的
次方之比与远日距离之比的平方复合为平均距离之比，与平均距离之比复合为近日距离之比。
[1] 选自维吉尔《牧歌》（ Eclogue ），其一，27和29。