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这些关系
不仅多种多样，而且层次也不尽相同，我们可以由此把它们分为四种类型：它或者仅来源于立体形的外在形状；或者在构造棱边时产生了和谐比例；或者来源于已经构造出来的立体形，无论是单个的还是组合的；或者等于或接近于立体形的内切球与外接球之比。
对于第一种类型的关系，如果比例的特征项或大项为3，则它们就与四面体、八面体和二十面体的三角形面有关系；如果大项是4，则与立方体的正方形面有关系；如果大项是5，则与十二面体的五边形面有关系。这种面相似性也可以拓展到比例中的小项，于是，只要3是连续双倍比例中的一项，则该比例就必定与前三个立体形有关系，比如1 : 3、2 : 3、4 : 3和8 : 3等；如果这一项是5，则这个比例就必定与十二面体的结合有关系，比如2 : 5、4 : 5和8 : 5。类似地，3 : 5、3 : 10、6 : 5、12 : 5和24 : 5也都属于这些比例。但如果表示这种相似性的是两比例项之和，那么这种关系存在的可能性就较小了。比如在2 : 3中，两比例项加起来等于5，于是2 : 3近似与十二面体有关系。因立体角的外在形式而具有的关系与此类似：在初级立体形中，立体角是三线的，在八面体中是四线的，在二十面体中是五线的。因此，如果比例中的一项是3，则该比例将与初级立体形有关系；如果是4，则与八面体有关系；如果是5，则与二十面体有关系。对于雌性立体形，这种关系就更为明显了，因为潜藏于其内部的特征图形具有与角同样的形式：八面体中是正方形，二十面体中是五边形。
所以3 : 5有两个理由属于二十面体。
对于第二种起源类型的关系，可做如下考虑：首先，有些整数之间的和谐比例与某种结合或家庭有关系，或者说，完美比例只与立方体家庭有关系；而另一方面，也有一些比例无法用整数来表示，而只能通过一长串整数逐渐逼近。如果这一比例是完美的，它就被称为神圣的，并且自始至终都以各种方式规定着十二面体的结合。因此，以下这些和谐比例1 : 2、2 : 3、3 : 5、5 : 8是导向这一比例的开始。如果比例总是和谐的，因1 : 2最不完美，5 : 8稍完美一些，我们把5加上8得到13，并且在13前面添上8，那么得出的比例就更完美了。
此外，为了构造立体形的棱边，（外接）球的直径必须被切分。八面体需要直径分为两半，立方体和四面体需要分为三份，十二面体的结合需要分为五份。因此，立体形之间的比例是根据表达比例的这些数字而分配的。直径的平方也要切分，或者说立体形棱边的平方由直径的某一固定部分形成。然后，把棱边的平方与直径的平方相比，于是就构成了如下比例：立方体是1 : 3，四面体是2 : 3，八面体是1 : 2。如果把两个比例复合在一起，则立方体和四面体给出的复合比例是1 : 2，立方体和八面体是2 : 3，八面体和四面体是3 : 4，十二面体的结合的各边是无理的。
第三，由已经构造出来的立体形可以根据各种不同方式产生和谐比例。我们或者把每一面的边数与整个立体形的棱数相比，得到如下比例：立方体是4 : 12或1 : 3，四面体是3 : 6或1 : 2，八面体是3 : 12或1 : 4，十二面体是5 : 30或1 : 6，二十面体是3 : 30或1 : 10；或者把每一面的边数与面数相比，得到以下比例：立方体是4 : 6或2 : 3，四面体是3 : 4，八面体是3 : 8，十二面体是5 : 12，二十面体是3 : 20；或者把每一面的边数或角数与立体角的数目相比，得到以下比例：立方体是4 : 8或1 : 2，四面体是3 : 4，八面体是3 : 6或1 : 2，十二面体的结合是5 : 20或3 : 12（1 : 4）；或者把面数与立体角的数目相比，得到以下比例：立方体是6 : 8或3 : 4，四面体是1 : 1，十二面体是12 : 20或3 : 5；或者把全部边数与立体角的数目相比，得到以下比例：立方体是8 : 12或2 : 3，四面体是4 : 6或2 : 3，八面体是6 : 12或1 : 2，十二面体是20 : 30或2 : 3，二十面体是12 : 30或2 : 5。
这些立体形彼此之间也可以相比。如果通过几何上的内嵌，把四面体嵌入立方体，把八面体嵌入四面体和立方体，则四面体等于立方体的三分之一，八面体等于四面体的二分之一和立方体的六分之一，所以内接于球的八面体等于外切于球的立方体的六分之一。其余立体形之间的比例都是无理的。
对我们的研究来说，第四类或第四种程度的关系是更为适当的，因为我们所寻求的是立体形的内切球与外接球之比，计算的是与此接近的和谐比例。只有在四面体中，内切球的直径才是有理的，即等于外接球的三分之一。但在立方体的结合中，这唯一的比例只有在相应线段平方之后才是有理的，因为内切球的直径与外接球的直径之比为1 : 3的平方根。如果把这些比例相互比较，则四面体的两球之比
将等于立方体两球之比的平方。在十二面体的结合中，两球之比仍然只有一个值，不过是无理的，稍大于4 : 5。因此，与立方体和八面体的两球之比相接近的和谐比例分别是稍大的1 : 2和稍小的3 : 5；而与十二面体的两球之比相接近的和谐比例分别是稍小的4 : 5和5 : 6，以及稍大的3 : 4和5 : 8。
然而如果由于某种原因，1 : 2和1 : 3被归于立方体，
而且确实就用这个比例，则立方体的两球之比与四面体的两球之比之间的比例，将等于已被归于立方体的和谐比例1 : 2和1 : 3与将被归于四面体的和谐比例1 : 4和1 : 9之比，这是因为这些比例（四面体的比例）等于前面那些和谐比例（立方体的和谐比例）的平方。对于四面体而言，由于1 : 9不是和谐比例，所以它只能被1 : 8这一与它最接近的和谐比例所代替。根据这个比例，属于十二面体的结合的比例将约为4 : 5和3 : 4。因为立方体的两球之比近似等于十二面体的两球之比的立方，所以立方体的和谐比例1 : 2和1 : 3将近似等于和谐比例4 : 5和3 : 4的立方。4 : 5的立方是64 : 125，1 : 2即为64 : 128；3 : 4的立方是27 : 64，1 : 3即为27 : 81。