序言

关于这个发现，我22年前发现天球之间存在着五种正立体形时就曾预言过；在我见到托勒密的《和声学》（ Harmonics ） 之前就已经坚信不移了；远在我对此确信无疑以前，我曾以本书第五卷的标题向我的朋友允诺过；16年前，我曾在一本出版的著作中坚持要对它进行研究。为了这个发现，我已把我一生中最好的岁月献给了天文学事业，为此，我曾拜访过第谷·布拉赫（Tycho Brahe），并选择在布拉格定居。最后，至高至善的上帝开启了我的心灵，激起了我强烈的渴望，延续了我的生命，增强了我精神的力量，还惠允两位慷慨仁慈的皇帝以及上奥地利地区的长官们满足了我其余的要求。我想说的是，当我在天文学领域完成了足够多的工作之后，我终于拨云见日，发现它甚至比我曾经预期的还要真实：连同第三卷中所阐明的一切，和谐的全部本质都可以在天体运动中找到，而且它所呈现出来的并不是我头脑中曾经设想的那种模式（这还不是最令我兴奋的），而是一种非常完美的迥然不同的方式。正当重建天体运动这项极为艰苦繁复的工作使我进退维谷之时，阅读托勒密的《和声学》极大地增强了我对这项工作的兴趣和热情。这本书是以抄本的形式寄给我的，寄送人是巴伐利亚的总督约翰·格奥格·赫瓦特（John George Herward）先生，一个为推进哲学而生的学识渊博的人。出人意料的是，我惊奇地发现，这本书几乎整个第三卷在1500年前就已经讨论了天体的和谐。不过在那个时候，天文学还远没有成熟，托勒密通过一种不幸的尝试，可能已经使人陷入了绝望。他就像西塞罗（Cicero）笔下的西庇欧（Scipio），似乎讲述了一个令人惬意的毕达哥拉斯之梦，却没有对哲学有所助益。然而粗陋的古代哲学竟能与时隔15个世纪的我的想法完全一致，这极大地增强了我把这项工作继续做下去的力量。因为许多人的作用为何？事物的真正本性正是通过不同时代的不同阐释者才把自身揭示给人类的。两个把自己完全沉浸在对自然的思索当中的人，竟对世界的构形有着同样的想法，这种观念上的一致正是上帝的点化（套用一句希伯来人的惯用语），因为他们并没有互为对方的向导。从18个月前透进来的第一缕曙光，到3个月前的一天的豁然开朗，再到几天前思想中那颗明澈的太阳开始尽放光芒，我始终勇往直前，百折不回。 我要纵情享受那神圣的狂喜，以坦诚的告白尽情嘲弄人类：我窃取了埃及人的金瓶， 却用它们在远离埃及疆界的地方给我的上帝筑就了一座圣所。如果你们宽恕我，我将感到欣慰；如果你们申斥我，我将默默忍受。总之书是写成了，骰子已经掷下去了，人们是现在读它，还是将来子孙后代读它，这都无关紧要。既然上帝为了他的研究者已经等了6000年，那就让它为读者等上100年吧。

本卷分为以下各章：

第一章 论五种正立体形。

第二章 论和谐比例与五种正立体形之间的关系。

第三章 研究天体和谐所必需的天文学原理之概要。

第四章 造物主在哪些与行星运动有关的事物中表现了和谐比例，方式为何。

第五章 系统的音高或音阶的音、歌曲的种类、大调和小调均已在（相对于太阳上的观测者的）行星的视运动的比例中表现了出来。

第六章 音乐的调式或调以某种方式表现于行星的极运动。

第七章 所有六颗行星的普遍和谐比例可以像普通的四声部对位那样存在。

第八章 在天体的和谐中，哪颗行星唱女高音，哪颗唱女低音，哪颗唱男高音，哪颗唱男低音。

第九章 单颗行星的偏心率起源于其运动之间的和谐比例的安排。

第十章 结语：关于太阳的猜想。

在开始探讨这些问题以前，我想先请读者铭记蒂迈欧（Timaeus）这位异教哲学家在开始讨论同样问题时所提出的劝诫。基督徒应当带着极大的赞美之情去学习这段话，而如果他们没有遵照这些话去做，那就应当感到羞愧。这段话是这样的：

苏格拉底，凡是稍微有一点头脑的人，在每件事情开始的时候总要求助于神，无论这件事情是大是小；我们也不例外，如果我们不是完全丧失理智的话，要想讨论宇宙的本性，考察它的起源，或者要是没有起源的话，它是如何存在的，我们当然也必须向男女众神求助，祈求我们所说的话首先能够得到诸神的首肯，其次也能为你所接受。 VhFkizqK/qsA5joLUNyjaCE0tTgdoVMeH4fJT1+bYI5hOr0ioENOubZ+BePxxvEG

第一章
论五种正立体形

我已经在第二卷中讨论过，正平面图形是如何镶嵌成立体形的。在那里，我曾谈到由平面图形所组成的五种正立体形，并且说明了为什么数目是五，还解释了柏拉图主义者为什么要称它们为宇宙形体（figures），以及每种立体因何种属性而对应着何种元素。在本卷的开篇，我必须再次讨论这些立体形，而且只是就其本身来谈，而不考虑平面，对于天体的和谐而言，这已经足够了。读者可以在《哥白尼天文学概要》（ Epitome of Astronomy ）第二编 第四卷中找到其余的讨论。

根据《宇宙的奥秘》，我想在这里简要解释一下宇宙中这五种正立体形的次序，在它们当中，三种是初级形体 ，两种是次级形体 ：（1） 立方体 ，它位于最外层，体积也最大，因为它是首先产生的，并且从天生就具有的形式来看，它有着 整体 的性质；接下来是（2） 四面体 ，它好像是从立方体上切割下来的一个 部分 ，不过就像立方体一样，它也有三线立体角，从而也是初级形体；在四面体内部是（3） 十二面体 ，即初级形体中的最后一种，它好像是由立方体的某些部分和四面体的类似部分（不规则四面体）所组成的一个立体，它盖住了里面的立方体；接下来是（4） 二十面体 ，根据相似性，它是次级形体中的最后一种，有着多于三线的立体角；最后是位于最内层的（5） 八面体 ，与立方体类似，它是次级形体的第一种。正如立方体因外接而占据最外层的位置，八面体也因内接而占据最内层的位置。

然而，在这些立体形中存在着两组值得注意的不同等级之间的结合（wedding）：雄性一方是初级形体中的立方体和十二面体，雌性一方则是次级形体中的八面体和二十面体，除此以外，还要加上一个独身者或雌雄同体即四面体，因为它可以内接于自身，就像雌性立体可以内接于雄性立体，仿佛隶属于它一样。雌性立体所具有的象征与雄性象征相反，前者是面，后者是角。 此外，正像四面体是雄性的正方体的一部分，宛如其内脏和肋骨一样，从另一种方式来看， 雌性的八面体也是四面体的一部分和体内成分：因此，四面体是该组结合的中介。

这些配偶或家庭之间的最大区别是：立方体配偶之间的比例是 有理的 ，因为四面体是立方体的三分之一 ，八面体是四面体的二分之一和立方体的六分之一；但十二面体的结合的比例 是 无理的 [ 不可表达的 （ineffabilis）]，不过是 神圣的 。

由于这两个词连在一起使用，所以请读者注意它们的含义。与神学或神圣事物中的情形不同，“不可表达”在这里并不表示高贵，而是指一种较为低等的情形。正如我在第一卷中所说，几何学中存在着许多由于自身的无理性而无法涉足神圣比例的无理数。至于神圣比例（毋宁说是神圣分割）指的是什么，你可以参阅第一卷的内容。因为一般比例需要有四项，连比例需要有三项，而神圣比例除去比例本身的性质以外，还要求各项之间存在着一种特定的关系，即两个小项作为部分构成整个大项。因此，尽管十二面体的结合比例是无理的，但这反而成就了它，因为它的无理性接近了神。这种结合还包括了星状立体形，它是由正十二面体的五个面向外延展，直至汇聚到一点产生的。 读者可以参见第二卷的相关内容。

最后，我们必须关注这些正立体形的外接球与内切球的半径之比：对于四面体而言，这个值是有理的，它等于100000 : 33333或3 : 1；对于立方体的结合 而言，该值是无理的，但内切球半径的平方却是有理的，它等于（外接球）半径平方的三分之一的平方根，即100000 : 57735；对于十二面体的结合 则显然是无理的 ^[1] ，它大约等于100000 : 79465；对于星状立体形，该值等于100000 : 52573，即二十边形边长的一半或两半径间距的一半。

[1] 其准确值等于 。 VhFkizqK/qsA5joLUNyjaCE0tTgdoVMeH4fJT1+bYI5hOr0ioENOubZ+BePxxvEG

第二章
论和谐比例与五种正立体形之间的关系

这些关系 不仅多种多样，而且层次也不尽相同，我们可以由此把它们分为四种类型：它或者仅来源于立体形的外在形状；或者在构造棱边时产生了和谐比例；或者来源于已经构造出来的立体形，无论是单个的还是组合的；或者等于或接近于立体形的内切球与外接球之比。

对于第一种类型的关系，如果比例的特征项或大项为3，则它们就与四面体、八面体和二十面体的三角形面有关系；如果大项是4，则与立方体的正方形面有关系；如果大项是5，则与十二面体的五边形面有关系。这种面相似性也可以拓展到比例中的小项，于是，只要3是连续双倍比例中的一项，则该比例就必定与前三个立体形有关系，比如1 : 3、2 : 3、4 : 3和8 : 3等；如果这一项是5，则这个比例就必定与十二面体的结合有关系，比如2 : 5、4 : 5和8 : 5。类似地，3 : 5、3 : 10、6 : 5、12 : 5和24 : 5也都属于这些比例。但如果表示这种相似性的是两比例项之和，那么这种关系存在的可能性就较小了。比如在2 : 3中，两比例项加起来等于5，于是2 : 3近似与十二面体有关系。因立体角的外在形式而具有的关系与此类似：在初级立体形中，立体角是三线的，在八面体中是四线的，在二十面体中是五线的。因此，如果比例中的一项是3，则该比例将与初级立体形有关系；如果是4，则与八面体有关系；如果是5，则与二十面体有关系。对于雌性立体形，这种关系就更为明显了，因为潜藏于其内部的特征图形具有与角同样的形式：八面体中是正方形，二十面体中是五边形。 所以3 : 5有两个理由属于二十面体。

对于第二种起源类型的关系，可做如下考虑：首先，有些整数之间的和谐比例与某种结合或家庭有关系，或者说，完美比例只与立方体家庭有关系；而另一方面，也有一些比例无法用整数来表示，而只能通过一长串整数逐渐逼近。如果这一比例是完美的，它就被称为神圣的，并且自始至终都以各种方式规定着十二面体的结合。因此，以下这些和谐比例1 : 2、2 : 3、3 : 5、5 : 8是导向这一比例的开始。如果比例总是和谐的，因1 : 2最不完美，5 : 8稍完美一些，我们把5加上8得到13，并且在13前面添上8，那么得出的比例就更完美了。

此外，为了构造立体形的棱边，（外接）球的直径必须被切分。八面体需要直径分为两半，立方体和四面体需要分为三份，十二面体的结合需要分为五份。因此，立体形之间的比例是根据表达比例的这些数字而分配的。直径的平方也要切分，或者说立体形棱边的平方由直径的某一固定部分形成。然后，把棱边的平方与直径的平方相比，于是就构成了如下比例：立方体是1 : 3，四面体是2 : 3，八面体是1 : 2。如果把两个比例复合在一起，则立方体和四面体给出的复合比例是1 : 2，立方体和八面体是2 : 3，八面体和四面体是3 : 4，十二面体的结合的各边是无理的。

第三，由已经构造出来的立体形可以根据各种不同方式产生和谐比例。我们或者把每一面的边数与整个立体形的棱数相比，得到如下比例：立方体是4 : 12或1 : 3，四面体是3 : 6或1 : 2，八面体是3 : 12或1 : 4，十二面体是5 : 30或1 : 6，二十面体是3 : 30或1 : 10；或者把每一面的边数与面数相比，得到以下比例：立方体是4 : 6或2 : 3，四面体是3 : 4，八面体是3 : 8，十二面体是5 : 12，二十面体是3 : 20；或者把每一面的边数或角数与立体角的数目相比，得到以下比例：立方体是4 : 8或1 : 2，四面体是3 : 4，八面体是3 : 6或1 : 2，十二面体的结合是5 : 20或3 : 12（1 : 4）；或者把面数与立体角的数目相比，得到以下比例：立方体是6 : 8或3 : 4，四面体是1 : 1，十二面体是12 : 20或3 : 5；或者把全部边数与立体角的数目相比，得到以下比例：立方体是8 : 12或2 : 3，四面体是4 : 6或2 : 3，八面体是6 : 12或1 : 2，十二面体是20 : 30或2 : 3，二十面体是12 : 30或2 : 5。

这些立体形彼此之间也可以相比。如果通过几何上的内嵌，把四面体嵌入立方体，把八面体嵌入四面体和立方体，则四面体等于立方体的三分之一，八面体等于四面体的二分之一和立方体的六分之一，所以内接于球的八面体等于外切于球的立方体的六分之一。其余立体形之间的比例都是无理的。

对我们的研究来说，第四类或第四种程度的关系是更为适当的，因为我们所寻求的是立体形的内切球与外接球之比，计算的是与此接近的和谐比例。只有在四面体中，内切球的直径才是有理的，即等于外接球的三分之一。但在立方体的结合中，这唯一的比例只有在相应线段平方之后才是有理的，因为内切球的直径与外接球的直径之比为1 : 3的平方根。如果把这些比例相互比较，则四面体的两球之比 将等于立方体两球之比的平方。在十二面体的结合中，两球之比仍然只有一个值，不过是无理的，稍大于4 : 5。因此，与立方体和八面体的两球之比相接近的和谐比例分别是稍大的1 : 2和稍小的3 : 5；而与十二面体的两球之比相接近的和谐比例分别是稍小的4 : 5和5 : 6，以及稍大的3 : 4和5 : 8。

然而如果由于某种原因，1 : 2和1 : 3被归于立方体， 而且确实就用这个比例，则立方体的两球之比与四面体的两球之比之间的比例，将等于已被归于立方体的和谐比例1 : 2和1 : 3与将被归于四面体的和谐比例1 : 4和1 : 9之比，这是因为这些比例（四面体的比例）等于前面那些和谐比例（立方体的和谐比例）的平方。对于四面体而言，由于1 : 9不是和谐比例，所以它只能被1 : 8这一与它最接近的和谐比例所代替。根据这个比例，属于十二面体的结合的比例将约为4 : 5和3 : 4。因为立方体的两球之比近似等于十二面体的两球之比的立方，所以立方体的和谐比例1 : 2和1 : 3将近似等于和谐比例4 : 5和3 : 4的立方。4 : 5的立方是64 : 125，1 : 2即为64 : 128；3 : 4的立方是27 : 64，1 : 3即为27 : 81。 VhFkizqK/qsA5joLUNyjaCE0tTgdoVMeH4fJT1+bYI5hOr0ioENOubZ+BePxxvEG