2.1 z 变换的定义和收敛域

2.1.1 z 变换的定义

设一连续时间信号 x （ t ），经过采样得到采样后得信号 x _s （ t ），即

对采样信号 x _s （ t ）作拉普拉斯变换，得

令 x （ n ）= x （ nT ）， z =e ^sT ，则变量由 s 转换为 z ，上式转化为

式（2.2）是 z 变换的定义式。一个序列的 z 变换可以表示为

这种序列与其 z 变换之间的相应关系可以用符号记为

式（2.3）所定义的 z 变换称之为双边 z 变换，与此对应的单边 z 变换的定义为

很显然，当序列 x （ n ）是一个因果序列时，即 n ＜0时， x （ n ）=0，双边 z 变换和单边 z 变换是相等的。

例2—1 求序列 x （ n ）= u （ n ）的 z 变换。

解：

因为 n ＜0时， u （ n ）=0，双边 z 变换和单边 z 变换是相等的，所以上式可以写成

可见，这是一个级数求和问题，是以 z ^-1 作为公比的无穷多项的幂级数求和，若想该级数和收敛，则必须满足公比| z ^-1 |＜1，那么

MATLAB实现程序如下：

     syms n z;
     Xz=symsum(1/z^n,n,0,inf)

运行结果：

     Xz=
     z/(-1+z)

z 变换是关于 z 的无穷多项的幂级数的和，其中变量 z 是在 z 平面上定义的连续复变量，可以用极坐标的形式表示，即 z = r ·e ^{j ω} ，也可以写成实部和虚部的形式，即 z =Re[ z ]+jIm[ z ]。利用Re[ z ]作为横轴，Im[ z ]为纵轴就定义了描述复变量 z 的复平面，即 z 平面，如图2—1所示。

当| z |=1，即 r =1，对应 z 平面上单位圆，此时的 z 变换为

这时的 z 变换就转化为离散时间傅里叶变换（discrete time Fourier transform, DTFT），也就是说当复变量 z 在单位圆上取值时， z 变换就等价于序列的傅里叶变换，可见傅里叶变换是 z 变换的一个特例。

我们再来研究一下拉普拉斯变换中的复变量 s 和 z 变换中的复变量 z 之间的对应关系。拉普拉斯变换中的 s 是一个复变量，可以写成

其中 Ω =2π f ，称为模拟角频率。

z 变换中的复变量 z 用极坐标形式表示为 z = r ·e ^{j ω} 。因为已知 z =e ^sT ，所以 z =e ^sT =e ^{（ σ +j Ω ）T} =e ^{σ T} ·e ^{j Ω T} ，即

其中， ω 称为数字频率。

s 平面和 z 平面的表示如图2—2所示。

由式（2.7）可以归纳出 s 平面到 z 平面的映射规律：

（1） s 平面采用直角坐标系来表示复变量 s ，而 z 平面采用极坐标系来表示复变量 z ；

（2） s 平面的纵轴即j Ω 轴映射为 z 平面上的单位圆。因为当 s =j Ω 时，说明 σ =0，则 r =e ^{σ T} =1，表示 z 平面上的单位圆。

（3） s 平面的左半平面映射到 z 平面单位圆内部， s 平面的右半平面映射到 z 平面单位圆外部。因为 s 平面的左半平面，即 σ ＜0，则 r =e ^{σ T} ＜1，表示 z 平面单位圆的内部； s 平面的右半平面，即 σ ＞0，则 r =e ^{σ T} ＞1，表示 z 平面单位圆的外部。上述映射关系如图2—3所示。

（4） s 平面到 z 平面的映射不是一一对应的。因为在 s 平面上频率 Ω 是从-∞到+∞整个j Ω 轴上变化，当 Ω 每变化2π f _s ，对应的 z 平面上的数字频率 ω 就从0变化到2π，也就是说在单位圆上转了一圈，因此，尽管在 s 平面上频率 Ω 的取值不同，只要频率值相差2π f _s ，在 z 平面上就会对应同一个数字频率 ω ，所以说 s 平面到 z 平面的映射不是单一的。

（5）实际频率、模拟角频率、数字频率以及归一化频率之间的关系如图2—4所示。归一化频率 f′ 为实际频率与采样频率的比值，即

实际频率 f 与模拟角频率 Ω ：

模拟角频率 Ω 与数字频率 ω ：