数字信号处理原理与实践（修订版）最新章节_刘纪红著

习题

1.1 画出以下各序列的序列图。

（1） x （ n ）=（-2） ⁿ u （ n ）

（2） x （ n ）=（-2） ⁿ ^-1 u （ n -1）

（3） x （ n ）=-（1/2） ⁿ [ δ （ n +2）+ δ （ n ）+ δ （ n -3）]

（4） x （ n ）=（1/2） ⁿ ⁺¹ u （ n +1）

1.2 判断下列各信号的周期性，满足周期性的序列确定序列周期。

（1） x （ n ）=e ^j（3π ⁿ ^/4）

（2） x （ n ）=e ^j（ ⁿ ^/8-π）

（3） x （ n ）= A cos（2π n /7-π/8）

（4） x （ n ）=cos（π n /8）+sin（2π n /3）

1.3 对于下列系统，试判断系统是否是（1）稳定的；（2）因果的；（3）线性的；（4）时不变的。

（1） y （ n ）= x （ n ）+3 u （ n +1）

（2） y （ n ）= x （- n ）

（3） y （ n ）=e ^x ^（ ⁿ ^）

（4） y （ n ）=4 x （- n ）+5

（5） y （ n ）= g （ n ）· x （ n ）， g （ n ）为已知

（6） y （ n ）= x （ n - n ₀ ）

1.4 直接计算卷积和，求解单位冲激响应为 h （ n ）= a ^- ⁿ u （- n ），0＜ a ＜1的线性时不变系统的阶跃响应。

1.5 已知单位冲激响应 h （ n ）和输入信号 x （ n ）如下，求线性时不变系统的输出 y （ n ）。

（1） x （ n ）= u （ n ）

h （ n ）=（0.5）·2 ⁿ u （- n ）

（2） x （ n ）= u （ n -4）

h （ n ）=2 ⁿ u （- n -1）

（3） x （ n ）= u （ n ）- u （ n -10）

h （ n ）=2 ⁿ u （- n -1）

1.6 已知线性时不变系统的单位冲激响应 h （ n ）及输入 x （ n ），求输出序列 y （ n ），并画出输出序列 y （ n ）的图形。

（1） x （ n ）= R _N （ n ）

h （ n ）= R _N （ n ）

（2） x （ n ）= δ （ n ）- δ （ n -2）

h （ n ）=2 ⁿ R ₄ （ n ）

（3） x （ n ）= R ₅ （ n ）

h （ n ）=0.5 ⁿ u （ n ）

1.7 利用卷积和求解线性时不变系统的输出响应 y （ n ）。

（1） x （ n ）= α ⁿ u （ n ），0＜ α ＜1

h （ n ）= β ⁿ u （ n ），0＜ β ＜1, β ≠ α

（2） x （ n ）= u （ n ）

h （ n ）= δ （ n -2）- δ （ n -3）

1.8 已知输入信号 x （ n ）= u （ n ）- u （ n -10），线性时不变系统的单位冲激响应为 h （ n ）=（0.8） ⁿ u （ n ），求系统的输出 y （ n ）。

1.9 已知两个序列为

x （ n ）=[3, 11, 7, 0，-1, 4, 2]，　-3≤ n ≤3

h （ n ）=[2, 3, 0，-5, 2, 1]，　-1≤ n ≤4

试用MATLAB语言求其卷积和： y （ n ）= x （ n ）∗ h （ n ）。

1.10 已知常系数线性差分方程为

y （ n ）-3/4 y （ n -1）+1/8 y （ n -2）=2 x （ n -1），　当 n ＜0时， y （ n ）=0

求该系统的单位冲激响应 h （ n ）。

1.11　（1）已知一个线性时不变系统，其输入输出关系满足如下差分方程：

求该系统的频率响应 H （e ^j ^w ）。

（2）已知一个系统的频率响应为

试求表征该系统的差分方程。

1.12 一个因果线性时不变系统由下列差分方程描述：

y （ n ）-5 y （ n -1）+6 y （ n -2）=2 x （ n -1）

（1）求该系统的单位冲激响应；

（2）求该系统的单位阶跃响应。

1.13 考虑如下差分方程：

（1）满足该差分方程的因果LTI系统的单位冲激响应，频率响应和阶跃响应分别是什么？

（2）满足这个差分方程，但系统既不是因果的，又不是LTI的，且有 y （0）= y （1）=1。求系统的单位冲激响应。

1.14 考虑一个LTI系统，其频率响应为

若输入为

x （ n ）=cos（π n /2），　对全部 n

试求对全部 n 的系统输出 y （ n ）。

1.15 表示系统的常系数线性差分方程为

（1）若该差分方程表示的LTI系统为因果系统，求该因果系统的单位冲激响应。

（2）若该差分方程表示的LTI系统为非因果系统，求该非因果系统的单位冲激响应。

（3）试证明因果的LTI系统是稳定的，非因果的LTI系统是不稳定的。

1.16 有一系统输入为 x （ n ），输出为 y （ n ），且满足下列差分方程：

y （ n ）= ny （ n -1）+ x （ n ）

该系统是因果的，且系统的初始状态为零，即若 n ＜ n ₀ ， x （ n ）=0，则有 y （ n ）=0, n ＜ n ₀ 。

（1）若 x （ n ）= δ （ n ），求系统输出 y （ n ）（对全部 n ）。

（2）判断系统是否满足线性，试证明之。

（3）判断系统是否满足时不变性，试证明之。

1.17 已知系统的差分方程为：

试画出此系统的方框图。如果 y （-1）=0, x （ n ）= δ （ n ），试求出系统的输出响应 y （ n ），并指出此时的 y （ n ）有何特点，其特点与系统结构有何关系？

1.18 设实际抽样器的抽样脉冲宽度为 τ ，抽样周期为T，且0＜ τ ＜ T 。试导出由此抽样器得出的抽样信号的频谱结构，并证明不论 τ 值如何，频谱周期重复及抽样定理均成立。

1.19 已知抽样频率 Ω _s =8π，对三个正弦信号 x _a1 （ t ）=cos2π t , x _a2 （ t ）=-cos6π t , x _a3 （ t ）=cos10π t 进行理想抽样，求三个抽样输出序列，并比较这三个结果。画出 x _a1 （ t ）、 x _a2 （ t ）、 x _a3 （ t ）的波形及抽样点的位置，解释频谱混淆的现象。