1.6 系统的频率响应

在以前所讨论的线性时不变系统，对系统的输入没有特定的限制。在本节中，我们将系统输入限定为复指数序列，研究线性时不变系统对不同频率的复指数序列的传递能力。

设输入序列是频率为 ω 的复指数序列，即

由线性系统的性质可知，输出应为同类型的复指数序列 y （ n ）= B e ^{j ω n} ，将其代入由差分方程 所表示的离散系统中，得

因此

这样，定义

为系统频率响应。系统频率响应给出了在频域中表示系统的方式，说明系统对不同频率的复指数序列的传递能力。由式（1.75）可以看出，频率响应可以由系统的结构参数确定。

系统频率响应也可以从 z 变换中导出，相当于单位冲激响应在单位圆 z =e ^{j ω} 上的 z 变换，即

因此，得

系统的频率响应具有以下性质：

1） H （e ^{j ω} ）是 ω 的连续复函数

系统频率响应可以表示为

系统的频率响应包括了幅度响应和相位响应，即

其中，幅度响应为

可以看出，幅度响应| H （e ^{j ω} ）|是关于 ω 的偶函数，即

相位响应为

相位响应arg[ H （e ^{j ω} ）]是关于 ω 的奇函数，即

例如，一个系统的单位冲激响应为 h （ n ）= δ （ n ），其对应的频率响应为

如图1—59所示。

2） H （e ^{j ω} ）是周期为2π的周期函数

因为

由此可见， H （e ^{j ω} ）具有周期性，其周期为2π。

3）若一系统的频率响应为 H （e ^{j ω 0} ），当输入信号为 x （ n ）= A ·cos（ ω ₀ n ），则系统的输出为

证明：首先根据欧拉公式，将输入信号 x （ n ）表示为 x ₁ （ n ）与 x ₂ （ n ）和的形式，即

其中， 。

那么，对应 的系统输出响应为

对应 的系统输出响应为

则系统总的输出响应为

由式（1.79）可知，

由式（1.81）可知，

由此可得

4）时域中两个信号的卷积和对应频域中两个信号的频谱的乘积，即，若

y （ n ）= x （ n ）∗ h （ n ）

则有

证明：

因为 y （ n ）= x （ n ）∗ h （ n ），则

例1—37 已知一线性时不变系统的单位冲激响应为

h （ n ）= R _N （ n ）

试求该系统的频率响应 H （e ^{j ω} ）。

解： 由式（1.77）可知

因此，该系统频率响应的幅度特性为

相位特性为

当 N =20时，系统频率响应如图1—60所示。

例1—38 已知系统的差分方程为 y （ n ）= ay （ n -1）+ x （ n ），| a |＜1，试求该系统的频率响应 H （e ^{j ω} ）。当 a 分别为0.9和-0.9时，试分析系统特性。

解： 由公式（1.75），得该系统的频率响应为

则该系统频率响应的幅度特性为

相位特性为

当 a =0.9时，系统的频率响应如图1—61所示。

可见， a =0.9时，该系统具有低通滤波特性，为低通滤波器。

当 a =-0.9时，系统的频率响应如图1—62所示。

可见， a =-0.9时，该系统具有高通滤波特性，为高通滤波器。 t0/pjQU8c2D2T4DRLHTYrRahpBjKh5sTyBVwYgjjicY80lalOn4MtCZA5eNv/W3p