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采样是对连续时间信号进行数字处理的重要环节，是联结离散信号和连续信号的桥梁。信号的采样可以通过采样开关实现，如图1—51所示。设采样开关每间隔周期 T 闭合一次，每次合上的时间为 τ ≪ T ，在采样开关的输出端得到采样信号。采样实现了信号的时间量化，即离散时间信号。采样开关闭合周期的选择决定了采样后的信号。现在先研究一下采样周期的选择。
图1—51 采样开关
已知三个连续时间余弦信号， s 1 （ t ）=cos（6π t ）， s 2 （ t ）=cos（14π t ）， s 3 （ t ）=cos（26π t ），这三个信号分别具有不同的频率成分， s 1 （ t ）信号的频率为3Hz， s 2 （ t ）信号的频率为7Hz， s 3 （ t ）信号的频率为13Hz。现在对这三个连续时间信号进行采样，选择采样周期 T =0.1s，即采样频率为10Hz，那么采样后的三个离散时间信号分别为
s 1 （ n ） =s 1 （ t ） | t=nT = cos（6π nT ） = cos（0.6π n ）
s 2 （ n ） =s 2 （ t ） | t=nT = cos（14π nT ） = cos（1.4π n ） = cos[（2π-0.6π） n ] = cos（0.6π n ）
s 3 （ n ） =s 3 （ t ） | t=nT = cos（26π nT ） = cos（2.6π n ） = cos[（2π + 0.6π） n ] = cos（0.6π n ）
三个频率不同的连续时间信号经过采样后会得到完全相同的离散时间信号，如图1—52
所示。
图1—52 三个不同频率的连续余弦信号及其采样后信号
在图1—52中“〇”表示以10Hz采样频率对 s 1 （ t ）， s 2 （ t ）和 s 3 （ t ）采样后的信号。由此可见，采样后的三个序列是完全相同的，很难与原来的三个不同频率的连续时间信号联系起来，也就是说很难从采样后的信号恢复回原始信号，其主要原因就是采样周期选择的不合适。采样点过少，会丢失信号信息；采样点过多，会增加计算量。因此只有选择合适的采样周期才能够既保证保留原始信号的完整性，又不丢失采样点之间的信息。
如何选择合适的采样周期？首先来讨论采样信号以及采样信号的频谱。
图1—53给出了实际采样和理想采样的过程。
x
a
（
t
）代表输入的连续时间信号，
S
为采样开关，
表示采样后的信号。采样开关可以用冲激串函数
p
（
t
）来描述，
p
τ
（
t
）表示实际的采样开关，其输出是周期为
T
，宽度为
τ
的脉冲串，
p
δ
（
t
）表示采样周期为
T
的理想采样开关，采样后的信号就是连续时间信号与冲激串函数的乘积。
在式（1.56）中，只有当
t
=
nT
时，
才可能有非零值，因此写成
图1—53 连续时间信号的采样
现在分别研究采样前和采样后信号的频谱变化，从而确定采样周期的选择规则以保证采样后的信号不失真。
采样由采样开关实现，采样开关可以看作是一个冲激串函数，即
nT
）。
冲激串函数是周期函数，因此可以展成傅里叶级数
其中，傅里叶级数的系数
则
那么这个冲激串函数的频谱为
可见，时域冲激串信号的傅里叶变换得到频域的冲激串序列，幅度为2π/ T ，频谱周期为 Ω 0 ，即
因为 Ω 0 =2π/ T ，所以 T 越小， Ω 0 越大。
令采样后的信号
，则
x
s
（
t
）是连续时间信号
x
a
（
t
）与冲激串函数
p
（
t
）的乘积，即
采样前原始信号的频谱为
采样后信号的频谱为
最后得
其中 Ω s = Ω 0 =2π/ T 。
从式（1.65）可以看出，连续信号 x a （ t ）经过抽样变成离散时间信号 x s （ t ）后，信号的频谱呈现出周期性。采样信号的频谱沿频率轴，每间隔采样角频率 Ω s 重复出现一次，这种现象称为频谱的周期延拓。就是说采样信号的频谱是原始信号的频谱以 Ω s 为周期，进行周期延拓而成的，如图1—54所示。其中图1—54（a）表示原始信号 x a （ t ）的频谱，图1—54（b）表示冲激串函数 p （ t ）的频谱。当采样频率 Ω s ≥2 Ω c 时，采样后的信号频谱如图1—54（c）所示，采样造成信号频谱的周期延拓。当采样频率 Ω s ＜2 Ω c 时，采样后的信号频谱如图1—54（d）所示，周期延拓后的信号频谱发生了频率混叠现象。
图1—54 采样对信号频谱的影响
（a）原始信号的频谱；（b）采样信号的频谱；（c） Ω s ≥2 Ω c 时，采样后信号的频谱；（d） Ω s ＜2 Ω c 时，采样后信号的频谱
如果连续时间信号 x （ t ）的频谱是有限带宽的，其频谱的最高频率为 f m ，对 x （ t ）进行采样时，若想保证采样后的信号不失真，则采样频率 f s 必须满足：
该采样定理也称为奈奎斯特采样定理或香农采样定理，将允许的最低采样频率 f s =2 f m 定义为奈奎斯特频率，将奈奎斯特频率的一半 f s /2称为折叠频率。当采样频率低于信号谱最高频率的二倍时，采样后的信号就会发生频率混叠。因此在对信号进行采样前，首先应该了解信号的最高频率，以此来确定采样频率 f s 。为确保采样后信号的频谱不发生混叠，通常在采样前，对信号进行模拟滤波，以滤去 f ＞ f m 的高频成分。
一些常见信号的主要频率范围如下：
（1）生理信号
①心电图（Electrocardiograph, ECG） 0~100Hz
②自发脑电图（Electroencephalogram, EEG） 0~100Hz
③表面肌电图（Electromyography, EMG） 10~200Hz
④眼电图（Electro-Oculogram, EOG） 0~20Hz
⑤语音 100~4000Hz
（2）地震信号
①风噪声 100~1000Hz
②地震勘探信号 10~100Hz
③地震及核爆炸信号 0.01~10Hz
（3）电磁信号
①无线电广播 3×10 4 ~3×10 6 Hz
②短波 3×10 6 ~3×10 10 Hz
③雷达、卫星通信 3×10 8 ~3×10 10 Hz
④远红外 3×10 11 ~3×10 14 Hz
⑤可见光 3.7×10 14 ~7.7×10 14 Hz
⑥紫外线 3×10 15 ~3×10 16 Hz
⑦γ射线和X射线 3×10 17 ~3×10 18 Hz