1.4.3 边界条件对差分方程的影响

用差分方程描述系统时，在没有任何其他初始状态或边界条件的情况下，同一个差分方程对同一个输入信号的响应不同。当初始状态或边界条件的改变时，系统的一些特性也会随之改变。例如，系统差分方程为 y （ n ）- ay （ n -1）= x （ n ），当边界条件为 n ＜0, y （ n ）=0时，该差分方程表示的是一个因果系统；当边界条件为 n ＞0, y （ n ）=0时，该差分方程表示的是一个非因果系统；当边界条件为 y （-1）=0时，该差分方程表示的是一个线性时不变系统；当边界条件为 y （0）=0时，该差分方程表示的是一个线性时变系统；当边界条件为 y （0）=1时，该差分方程表示的是一个非线性时变系统。

例1—33 一系统用常系数线性差分方程 y （ n ）= ay （ n -1）+ x （ n ）描述，初始条件 y （-1）=0，试分析该系统是否是线性时不变系统。

解： 设给定两个输入信号 x ₁ （ n ）= δ （ n ）， x ₂ （ n ）= δ （ n -1），令 x ₃ （ n ）= δ （ n ）+ δ （ n -1），是 x ₁ （ n ）和 x ₂ （ n ）简单的线性组合，在初始条件 y （-1）=0的条件下，通过迭代法分别求出在三个输入 x ₁ （ n ）、 x ₂ （ n ）和 x ₃ （ n ）作用下系统的三个输出 y ₁ （ n ）、 y ₂ （ n ）和 y ₃ （ n ），来检验系统是否是线性时不变系统。

（1） x ₁ （ n ）= δ （ n ）， y ₁ （-1）=0

y ₁ （ n ）= ay ₁ （ n -1）+ δ （ n ）

y ₁ （0）= ay ₁ （-1）+ δ （0）=1

y ₁ （1）= ay ₁ （0）+ δ （1）= a

y ₁ （2）= ay ₁ （1）+ δ （2）= a ²

…

y ₁ （ n ）= a ⁿ u （ n ）

（2） x ₂ （ n ）= δ （ n -1）， y ₂ （-1）=0

y ₂ （ n ）= ay ₂ （ n -1）+ δ （ n -1）

y ₂ （0）= ay ₂ （-1）+ δ （-1）=0

y ₂ （1）= ay ₂ （0）+ δ （0）=1

y ₂ （2）= ay ₂ （1）+ δ （1）= a

…

y ₂ （ n ）= a ^{n -1} u （ n -1）

因为 x ₁ （ n -1）= x ₂ （ n ），是移一位的关系， y ₁ （ n -1）= y ₂ （ n ），输出也是移一位的关系，因此系统是时不变系统。

（3） x ₃ （ n ）= δ （ n ）+ δ （ n -1）， y ₃ （-1）=0

y ₃ （ n ）= ay ₃ （ n -1）+ δ （ n ）+ δ （ n -1）

y ₃ （0）= ay ₃ （-1）+ δ （0）+ δ （-1）=1

y ₃ （1）= ay ₃ （0）+ δ （1）+ δ （0）=1+ a

y ₃ （2）= ay ₃ （1）+ δ （2）+ δ （1）= a + a ²

…

y ₃ （ n ）= a ⁿ u （ n ）+ a ^{n -1} u （ n -1）

因为 x ₃ （ n ）= x ₁ （ n ）+ x ₂ （ n ），而 y ₃ （ n ）= y ₁ （ n ）+ y ₂ （ n ），因此系统是线性系统。

由此可见，在初始条件 y （-1）=0的情况下，差分方程 y （ n ）= ay （ n -1）+ x （ n ）所表示的系统是一个线性时不变系统。在初始条件为 y （0）=0和 y （0）=1时，该差分方程所表示的就不是线性时不变系统，利用上述方法可以自行证明。

在MATLAB中，可以利用信号处理工具箱提供的filter函数求解在给定输入和差分方程系数时系统输出的数值解，其调用格式为

     y=filter(b,a,x,zi)
     zi=filtic(b,a,yi,xi)

其中，b表示输入项的系数，即b=[ b ₀ ， b ₁ ，…， b _M ]；a表示输出项的系数，即a=[ a ₀ ， a ₁ ，…， a _N ]，其中 a ₀ =1，若 a ₀ ≠1，则需对系数向量b和a进行归一化处理。x为输入序列；zi为等效初始条件的输入向量，是与初始条件有关的向量，可以利用filtic函数获取，其中yi, xi表示实际初始条件，即yi=[ y （-1）， y （-2）， y （-3），…， y （- N ）]，xi=[ x （-1）， x （-2）， x （-3），…， x （- M ）]。若xi为因果序列，则xi=0。

例1—34 描述一个离散系统的差分方程为

y （ n ）-0.6 y （ n -1）-0.5 y （ n -2）+ y （ n -3）= x （ n ）

试利用MATLAB程序实现系统单位冲激响应 h （ n ）的求解。

解： MATLAB实现程序如下：

     a=[1,-0.6,-0.5,1];
     b=1;
     n=[-20:100];
     x=[(n)==0];
     h=filter(b,a,x);
     stem(n,h,'.k');

运行结果如图1—45所示。

例1—35 一个离散系统的差分方程为 y （ n +1）-0.6 y （ n ）= x （ n ），系统输入信号 x （ n ）=2 nu （ n ），初始条件 y （-1）=4，试利用MATLAB求解输出信号 y （ n ），0≤ n ≤50。

解： MATLAB实现程序如下：

     n=[0:50];
     x=2 * n. * (n > =1);
     a=[1,-0.6];
     b=[0,1];
     zi=filtic(b,a,4);
     y=filter(b,a,x,zi);
     stem(n,y,'.k');

运行结果如图1—46所示。

例1—36 已知滑动平均系统的差分方程为 ）。当 M ₁ =0, M ₂ =4时，系统为五项滑动平均系统，试求当输入信号 x （ n ）=2 u （ n ）+3 δ （ n -15）- δ （ n -19）+2 δ （ n -26）时五项滑动平均系统的输出。

解： 滑动平均系统是通过计算算术平均值实现对输入信号的平滑处理，相当于一个低通滤波器，用来保留低频分量，滤除高频分量。

五项滑动平均系统的差分方程可以写成

因此该系统的单位冲激响应为

如图1—47所示。则系统输出为

具体MATLAB实现程序如下：

     n=[0:49];
     x=2 * ones(1,50)+3 * [(n)==15]-[(n)==19]+2 * [(n)==26];
     h=0.2 * ones(1,5);b=[0,1];
     y=conv(x,h);
     subplot(1,2,1)
     stem(x);
     subplot(1,2,2)
     stem(y);

运行结果如图1—48所示。