下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
常系数线性差分方程的求解是在已知输入序列的前提下，通过求解差分方程，获得系统的输出序列。一般来说，差分方程的求解有三种方法：经典法、离散时域求解法以及变换域求解法。
经典法求解差分方程类似于连续系统中微分方程的求解，即先求方程的齐次解和特解，最后由边界条件待定系数获得完全解。
1）迭代法
迭代法是一种简单易行的方法。根据差分方程和系统的初始状态或边界条件，通过逐次迭代以获得每一时刻的数值解。这种方法简单实用，比较适合于用计算机求解任意时刻的数值解。对于阶次较高的常系数线性差分方程，利用迭代法不容易得到系统输出的函数表达形式。
例1—31 已知描述某离散系统的差分方程为 y （ n ）= ay （ n -1）+ x （ n ），输入信号 x （ n ）= u （ n ）- u （ n -5），系统初始条件 y （ n ）=0, n ＜0，求系统的输出 y （ n ）。
解：
y （0）= ay （0-1）+ x （0）= a × y （-1）+ x （0）=0+1=1
y （1）= ay （1-1）+ x （1）= ay （0）+ x （1）= a ×1+1= a +1
y （2）= ay （2-1）+ x （2）= ay （1）+ x （2）= a 2 + a +1
y （3）= ay （3-1）+ x （3）= ay （2）+ x （3）= a 3 + a 2 + a +1
y （4）= ay （4-1）+ x （4）= ay （3）+ x （4）= a 4 + a 3 + a 2 + a +1
…
y （ n ）= a n -4 · y （4）， n ＞4
2）卷积和计算法
零状态系统的差分方程可以利用卷积和计算法来求解。卷积和计算法不是直接求解输入信号作用下系统的输出，而是先由差分方程求出系统的单位冲激响应，这样系统就可以转化为单位冲激响应的表示形式，那么在任意输入信号作用下，系统的输出就可以通过卷积的计算来获得。由此可见，卷积和计算法需要两个步骤来实现。首先，令输入序列为单位冲激序列，即 x （ n ）= δ （ n ），利用迭代法求解差分方程，获得系统的单位冲激响应 h （ n ）。其次，将输入序列 x （ n ）与系统单位冲激响应 h （ n ）作卷积计算，得到系统的输出响应 y （ n ）。
例1—32 利用卷积和计算法求解例1—30。
解：
（1）求解系统的单位冲激响应 h （ n ）。
令 x （ n ）= δ （ n ），则 y （ n ）= h （ n ）= ah （ n -1）+ δ （ n ），初始条件 h （ n ）=0, n ＜0
h （0）= ah （0-1）+ δ （0）= a ×0+1=1
h （1）= ah （1-1）+ δ （1）= a ×1+0= a
h （2）= ah （2-1）+ δ （2）= a × a +0= a 2
h （3）= ah （3-1）+ δ （3）= a × a × a +0= a 3
…
h （ n ）= a n u （ n ）
（2）计算卷积和求 x （ n ）作用下系统的输出。
当0≤ n ≤4时
当 n ＞4时
变换域求解法是利用 z 变换将差分方程变换到 z 域中求解。通过 z 变换将差分方程转化为简单的代数方程，求解代数方程，最后再通过 z 反变换回到时域，得到时域中输出序列 y （ n ）的值。具体的求解过程将在第2章 z 变换中详细讲解。