1.2.3 单位冲激响应

对于零状态的线性时不变系统，当输入为单位冲激序列 δ （ n ）时，系统的输出称为系统单位冲激响应，也可以称为单位抽样响应或脉冲响应，用 h （ n ）表示，即

单位冲激响应如图1—37所示。

例如，向前差分系统可以表示为 y （ n ）= x （ n +1）- x （ n ），其单位冲激响应为 h （ n ）= δ （ n +1）- δ （ n ）。向后差分系统可以表示为 y （ n ）= x （ n ）- x （ n -1），其单位冲激响应为 h （ n ）= δ （ n ）- δ （ n -1）。理想延时系统为 y （ n ）= x （ n - n _d ），其单位冲激响应为 h （ n ）= δ （ n - n _d ）。

单位冲激响应是表示离散系统时域特征的一种有效方式。利用单位冲激响应可以求解任意输入作用下的线性时不变系统的输出。

设系统输入为 x （ n ），因为任意序列都可以表示为单位冲激序列移位加权和的形式，即

则系统输出为

因为系统具有线性，上式可以写成

同时系统还满足时不变性，则

说明对于一个线性时不变系统，可以利用其单位冲激响应 h （ n ）来表示，如图1—38所示。

系统的输出响应等于系统输入和该系统单位冲激响应的卷积和，即

例1—25 试求累加器系统 ）的单位冲激响应 h （ n ）。

解： 令输入 x （ n ）= δ （ n ），此时系统的输出就是累加器系统的单位冲激响应。

可见，累加器系统的单位冲激响应为单位阶跃序列 u （ n ）。

例1—26 已知一个线性时不变系统，单位冲激响应为 h （ n ）= a ⁿ · u （ n ），0＜| a |＜1，试求在系统输入信号为 x （ n ）= u （ n ）- u （ n -4）时系统的输出响应 y （ n ）。

解：

因为

x （ m ）：0≤ m ≤3 h （ n - m ）：0≤ n - m

若要同时满足上面两个不等式，需要对 n 进行讨论。

（1） n ＜0, y （ n ）=0；

（2）0≤ n ≤3，则0≤ m ≤ n

（3） n ＞3，则0≤ m ≤3

综上所述，得 MOMWHw9sf5y7xiVtZKoExtopJgE6kACmqVAHuMzHoMD23q1rMMXiN87Pf+tTiszG