1.1.4 序列的周期性

在连续系统中，正弦信号和复指数信号都是周期信号，周期等于2π/ ω 。在离散系统中，信号的周期性，即序列的周期性就是指对序列中所有 n 存在一个最小的正整数 N ，使其满足

则称序列 x （ n ）是周期序列，周期为 N 。图1—32表示了一个周期为4的周期序列。

下面以正弦序列为例，讨论一下序列的周期性。

具有周期性的正弦序列应满足

即

所以正弦序列的周期为

当 ω ₀ 的取值能够使得2 k π/ ω ₀ （ k ∈Z）为正整数，正弦序列才具有周期性。因此 ω ₀ 的值决定了正弦序列的周期性。

例1—20 讨论下面两个序列的周期性。

（1） x ₁ （ n ）=cos（0.01π n + ϕ ）

（2） x ₂ （ n ）=sin（5 n + ϕ ）

解：

（1）序列 x ₁ （ n ）如图1—33所示。

周期性应满足

x ₁ （ n+N ） = cos[0.01π（ n+N ） +ϕ ]

即

0.01π N= 2 k π⇒ N= 200 k ， k ∈Z

当 k =1时， N =200，所以序列 x ₁ （ n ）是周期序列，周期 N =200。

（2）序列 x ₂ （ n ）如图1—34所示。

周期性应满足

x ₂ （ n+N ） = sin[5（ n+N ） +ϕ ]

即

5 N= 2 k π⇒ N= 2 k π/5， k ∈Z

因为在任意的 k 值下，都不会获得整数的 N ，所以序列 x ₂ （ n ）不是严格意义上的周期序列。