1.1.2 一些常用的时间序列

在研究离散时间信号与系统理论时，一些常用的序列是非常重要的。

1．单位冲激序列 δ （ n ）

单位冲激序列（unit sample sequence）也称为单位采样序列或脉冲序列，其定义为

单位冲激序列类似于模拟信号中的单位冲激函数 δ （ t ）。单位冲激信号 δ （ t ）是建立在积分定义上的，即 。 δ （ t ）是不可实现的数学极限，而 δ （ n ）是可实现的。单位冲激序列和单位冲激信号如图1—3所示。

单位冲激序列在离散信号与系统的分析与综合中有着重要的作用。将单位冲激序列平移 m 个单位，可以表示为

这样，任意的序列都可以表示成单位冲激序列移位加权和的形式，即

例如，序列如图1—4所示。

可以采用单位冲激序列 δ （ n ）来表示，即

x （ n ） = 0.5 δ （ n+ 2） + 1.5 δ （ n- 1） -δ （ n- 2） +δ （ n- 4） + 0.75 δ （ n- 6）

因此，在说明某些离散时间系统（线性移不变系统）特性的时候，可以利用单位冲激序列作用时系统的输出响应序列，即单位冲激响应来完全描述，进而可以得到任意序列输入下系统的输出，因此单位冲激序列在离散系统的研究中具有重要的意义。

2．单位阶跃序列 u （ n ）

单位阶跃序列（unit step sequence）定义为

单位阶跃序列如图1—5所示。

单位阶跃序列 u （ n ）可以看作是一组延迟的单位冲激序列之和，即

或者

单位阶跃序列也可以表示为

可见，单位阶跃序列 u （ n ）相当于单位冲激序列的累加和序列。同样，单位冲激序列也可以用单位阶跃序列来表示

即单位冲激序列是单位阶跃序列的一阶向后差分。

3．矩形序列 R _N （ n ）

矩形序列（rectangle sequence）也是信号处理中常用的序列，一般用 R _N （ n ）表示，其中下脚标 N 表示矩形序列的长度。矩形序列 R _N （ n ）定义为

矩形序列如图1—6所示。

矩形序列 R _N （ n ）可以采用单位冲激序列和单位阶跃序列表示

在序列的表示中，经常采用矩形序列来表示一个序列的序列号 n 的取值范围。例如一个序列 x （ n ）=2 n ，-1＜ n ＜4，可以利用矩形序列表示为 x （ n ）=2 n · R ₄ （ n ）。

4．实指数序列

实指数序列（real exponential sequence）可以定义为

实指数序列如图1—7所示。

随着 a 取值不同，实指数序列呈现四种状态，具体如图1—8所示。

若| a |＞1，则序列发散；若| a |＜1，则序列收敛；若 a ＜0，则序列值表现为正、负交替的形式。

5．复指数序列

复指数序列（complex number exponential sequence）表示为

由欧拉公式可知，复指数序列可以表示为

其中， ，表示信号序列的幅值；arg[ x （ n ）]= ω ₀ n ，表示信号序列的幅角。

复指数序列也可以表示为实部和虚部的形式，即

其中， x _re （ n ）表示复指数序列的实部， x _im （ n ）表示复指数序列的虚部。

例如，复指数序列 的序列图如图1—9所示。

6．正弦序列

正弦序列（sinusoidal sequence）就是指序列值按正弦或余弦规律变化的序列。通常正弦序列可以表示为

其中 ω ₀ 是数字域频率，单位为rad，反映序列按次序周期变化快慢的速率。 ϕ 表示初相。

N 表示序列在一个周期内的采样点数。

正弦序列如图1—10所示。

正弦序列也可以表示为

其中 f 表示频率，单位为Hz。若令 Ω =2π f ， Ω 表示相对连续信号 x （ t ）的模拟角频率，单位为rad/s。当频率 f 从-∞到+∞变化时，模拟角频率 Ω 也是从-∞到+∞变化。数字频率 ω ₀ 与实际频率 f 之间的关系如下：

其中 f _s 为采样频率。当频率 f 从0变化到 f _s 时， ω ₀ 从0变化到2π。当频率 f 从0变化到- f _s 时， ω ₀ 从0变化到-2π。这样，频率 f 每变化 f _s ， ω ₀ 变化2π。 BsmaVu5lCs5X66wT63mbLxkR73gCA8c6FAAlaWHYfVjfHBLHbYlHYgbCNaWt3b9j