下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
熵是基础物理学中颇令人困惑的一个概念，但大众文化并没有因此就倒了胃口，仍然乐此不疲地随意运用熵来描述从有序演变为混乱的日常情形，或是更简单的，由好变坏的情形。就是口头上随便说说的话，这也没什么，有时候我也会这么用熵的概念。但是，既然熵的科学定义要指引我们走完这趟旅程，同时也在罗素的晦暗未来前景中处于核心位置，我们还是要先来梳理一下这个概念的精确意义。
先打个比方。假设你使劲儿摇晃一个装了100枚硬币的袋子，然后把这些硬币都倒到餐桌上。要是发现这100枚硬币全都正面朝上，你肯定会大吃一惊。为什么？似乎用不着说，但还是值得好好想想。连一个背面朝上的都没有，就意味着所有这100枚随机翻转、碰撞、推来挤去的硬币，落到桌面上时全都得正面朝上。全都是。那可难得很。要得到这样一个独一无二的结果非常困难。相比之下，如果我们考虑一个只是稍微有点不同的结果，比如说有1枚硬币背面朝上（另外99枚仍然正面朝上），那么实现这种情形有100种不同的方式：唯一背面朝上的可以是第1枚硬币，也可以是第2枚、第3枚，以此类推直到第100枚。因此，得到99枚硬币正面朝上的结果，容易程度是所有硬币都正面朝上的100倍——前者的可能性是后者的100倍。
接着往下看。稍微计算一下就能发现，得到两枚硬币背面朝上的结果有4950种不同方式（第1枚和第2枚硬币背面朝上，第1枚和第3枚背面朝上，第2枚和第3枚背面朝上，第1枚和第4枚背面朝上，以此类推）。接着再算一算就会发现，有3枚硬币背面朝上的不同方式有161700种，4枚硬币背面朝上的情形有近400万种，5枚硬币背面朝上的情形则有约7500万种。具体数字并不重要，我要说的是这个总体趋势。每多一枚背面朝上的硬币，所允许的符合要求的结果集合就要增大很多很多，大得吓人。到50枚背面朝上（正面朝上也是50枚）时，这个数字达到峰值，此时的组合方式约有10万亿亿亿种可能（好吧，是100 891 344 545 564193 334 812 497 256种组合）。 [8] 因此，得到50枚正面朝上、50枚背面朝上的可能性比所有硬币都正面朝上要大10万亿亿亿倍。
这就是为什么所有硬币都正面朝上会令人大感震撼。
我们大部分人在分析一袋子硬币的时候，凭直觉都会采用麦克斯韦和玻尔兹曼主张用来分析一筒蒸汽的方式，我上面的阐释就依赖于这个事实。正如科学家对一个分子一个分子地分析蒸汽不屑一顾，我们通常也不会一枚硬币一枚硬币地去估算一个随机的硬币集合。我们基本上不会关心或注意第29枚硬币是不是正面朝上，第71枚是不是背面朝上。相反，我们将硬币集合看成一个整体。吸引我们注意的特征是正面朝上和背面朝上的硬币数量之比：是正面朝上的多还是背面朝上的多？是2倍那么多，3倍那么多，还是大体相等？我们能够发现正面朝上对背面朝上之比的显著变化，但如果保持比例不变，随机的重新组合——比如将第23枚、第46枚和第92枚硬币从背面翻转为正面朝上，同时将第17枚、第52枚和第81枚硬币从正面翻转为背面朝上——实际上无法区分。因此，我把可能的结果分组，每组包含看起来几乎一模一样的硬币组态，并点算每组有多少成员：我数了没有背面朝上的结果有多少个，1枚硬币背面朝上的结果有多少个，2枚硬币背面朝上的结果有多少个等等，一直数到有50枚硬币背面朝上的结果有多少个。
关键结论是各组的成员数量并不相同，甚至谈不上接近。因此非常明显，如果随机摇晃这些硬币却得到了没有背面朝上的结果你会无比震惊（这组只有刚好1个成员）；随机摇晃得到1枚背面朝上的结果，你震惊的程度只会小那么一点点（这组有100个成员）；要是发现2枚硬币背面朝上，你仍然会很震惊，但不会那么强烈了（这组有4950个成员）；而如果摇晃产生的组态是一半正面一半背面，你就会觉得无聊透顶（这组约有10万亿亿亿个成员）。某组的成员数量越多，随机结果就越有可能属于该组。组的大小很有关系。
如果这些讨论让你耳目一新，那你可能并没有意识到，我们已经阐述了一遍熵的基本概念。对给定的硬币组态而言，它的熵就是该组态的组的大小——跟给定组态看着一模一样的同类组态的数量。 [9] 如果有很多这种看起来一样的组态，那么给定组态的熵就很高；如果同类组态很少，给定组态的熵就很低。如果其他条件都一样，那么随机摇晃的结果就更可能属于熵更高的分组，因为这种分组的成员更多。
这种表述也跟我在本节开头提到的大家口头上对熵这个概念的用法有关。直觉上说，乱糟糟的组态（想想杂乱不堪的桌面，散落的文档、钢笔和回形针堆积如山）熵很高，因为对各组成部分的重新排列方式有相当多看起来都一模一样：随机重排一个乱糟糟的组态，看起来还是会很乱。井然有序的组态（想想一尘不染的桌面，所有文件、钢笔和回形针都各安其位，井井有条）熵就很低，因为对其组分的重排方式只有很少能看起来一样。跟硬币的例子一样，高熵情形更可能出现，因为混乱组态比有序组态要多得多。