2.2 随机变量及其分布

本节将介绍随机变量及其概率分布函数，为了对随机现象进行数学处理，把随机现象结果数量化，引入随机变量。分布函数是随机变量最重要的概率特征，可用于研究随机变量。

2.2.1 随机变量

如果一个变量在数轴上的取值依赖随机现象的基本结果，则称此变量为随机变量。如果随机变量仅取数轴上的有限个点，则称此随机变量为离散型随机变量。如果一个随机变量可取值为数轴上的一个区间，则称此随机变量为连续型随机变量。

1.概率分布函数

假设 X 为一个随机变量，对于任意实数 X ，事件“ X ≤ X ”的概率是 X 的函数，记为 F （ X ）= P （ X ≤ X ），这个函数称为 X 的累计概率分布函数，简称分布函数。

下面通过计算几何概率的例子理解概率分布函数。如图2-2所示，向半径为 R 的圆内随机投掷一个点，计算投掷点落在半径为 X 的圆内的概率。

投掷点落在半径为 X 的圆内的概率的计算方法为：半径为 X 的圆的面积÷半径为 R 的圆的面积；对应的概率分布函数为： 。计算投掷点落在距离圆心1/3半径圆内的概率为 ，得到的概率为1/9。

2.期望

（1）离散型随机变量的期望。

若离散型随机变量 X 的可取值为 X ₁ ， X ₂ ， X ₃ ，……， X _n ，则取值为 x _i 的概率为 P （ X = x _i ），对应的期望为 。

下面举例说明离散型随机变量期望的计算方法。假设我们用10000元购买某股票，该股票当前价格为4元，一年后价格可能变为1元、2元、4元、7元，通过计算期望评估是否要购买该股票。先计算当前可购买的股票数为10000÷4=2500（股），一年后股票价格有4种可能，每种可能的概率为25%。随机变量对应概率如表2-7所示，期望为 E =1×2500×25%+2×2500×25%+4×2500×25%+7×2500×25%=8750（元），比本金10000元少。

（2）连续型随机变量的期望。

假设连续型随机变量 X 的密度函数为 p （ X ），则在区间[ a ， b ]中对应的期望为 。

2.2.2 离散型随机变量分布

离散型随机变量取值为有限个，如掷骰子所有可能的结果为6个。下面介绍常见的离散型随机变量分布，这些分布往往能在现实中找到对应的场景。

1.二项分布

二项分布用于描述只有两个可能结果的随机事件，相关说明如表2-8所示。

现实中有很多场景符合二项分布，如判断工厂零件质量是否合格，用户是否会点击网站上的广告链接等。计算这些场景中的概率、期望、方差可以为生产运营提供数据支持。

下面是一个二项分布计算的例子。假设某药物经过实验测试后发现有效率为90%，现对8位患者使用，计算期望与至少6人被治愈的概率。

2.泊松分布

泊松分布用于描述单位时间或空间内随机事件发生的次数，相关说明如表2-9所示。

日常生活中，很多事件都有固定频率，如某医院平均每小时出生3个婴儿、某网站平均每分钟有2次访问，这些事件都可以通过泊松分布计算。

图2-3所示为部分泊松分布概率值。第一行为λ值，第一列为变量的值。如要确定λ=9时变量值为10的概率，只需在表中查找交叉单元格中的概率值。

3.几何分布

几何分布用于描述在n次伯努利实验中，实验x次才获得第一次成功的概率，相关说明如表2-10所示。

日常生活中有很多“第一次成功”的场景。例如，篮球运动员进行三分球投篮，完成第一次命中需要投篮几次。

下面是一个泊松分布计算的例子。某篮球运动员的罚球命中率为85%，计算三罚不中的概率。

2.2.3 连续型随机变量分布

连续型随机变量与离散型随机变量相比最大的区别是，连续型随机变量的取值个数是无限个。但和离散型随机变量一样，连续型随机变量中也有很多分布模型，应用最广泛的是正态分布。

在日常生活、工作生产中经常会遇到正态分布，如身高、血压、考试成绩、零件误差等都符合正态分布。图2-4所示为正态分布曲线，下面对图中内容进行简要说明。

（1）正态分布中 μ 为期望值， σ 为方差。

（2）无论 μ 和 σ 取何值，正态分布曲线与横轴之间的面积总等于1。

（3） μ =0， σ =1的正态分布是标准正态分布。 Wth5pI0s3RWWWjwEm/CbzrxpaHuWxRkMklwtHUgcSS1D4QheWSe96AFZ/TxRt0xL