柏拉图立体

柏拉图晚年的著作《蒂迈欧篇》，主旨与这位哲学家为世人所知的多数对话录有些不同，因为其中包含许多有关自然的神秘乃至空想的叙述，所以很久以前就有人认为本篇抄袭了毕达哥拉斯学派的哲学。

因为在柏拉图的一生中，他几乎从未对具体的自然现象表达过兴趣，所以像《蒂迈欧篇》这样一部类似博物志的著作，在他的所有作品中十分少见。但是后世的神秘哲学家和炼金术师最常引用的就是《蒂迈欧篇》，我也常常在《蒂迈欧篇》中找到一些最有趣的记述。它真可以说是一部不可思议的书，书中甚至仔细记述了一些实验科学的事实，十分有趣。例如：一般而言镜子会映出左右逆转的图像，但是中央下陷的凹面镜映出的图像却没有逆转。关于柏拉图立体的记述也被收录在这篇异色的著作中。

柏拉图立体，换个说法就是正多面体。也就是说它的每一个面都是正多边形，每一个顶点连接着相同数量的平面，是一个凸多面体。我们生活其中的三维空间并不存在无限多的正多面体，其可能性只局限于五种类型之内。分别是正四面体（金字塔形）、正六面体（立方体）、正八面体、正十二面体和正二十面体这五种，每一种都有外接球和内切球。

之所以会对柏拉图立体产生特殊的兴趣，其实是因为我几年前翻译了法国作家安德烈·皮耶尔·德·芒迪亚格的小说《大理石》。在这篇奇妙的小说中，主人公在一座漂浮于意大利某湖泊中的无人岛上，发现了耸立于柏树围绕的空地之上的五尊美丽的柏拉图立体的雕像，它们在月光下染上金黄色的光辉，像玻璃块一样透明。

毫无疑问，希腊人的几何学精神正是受到了这些形体的简洁美和完全对称的吸引。我会在后文提到，柏拉图是柏拉图学院的校长，他为这些形体赋予了几近神圣的性质。在结晶的世界里，随意的曲线和任性皆被驱逐，只靠直线构成是它的法则。艺术史家勒内·于热将其称为“经济的法则”，确实，这五个柏拉图立体中最简单的是正四面体，我可以大胆地说，自然的经济观念就凝结在其中。球体能够以固定表面积达到最大容积，四面体正好与之相反，是最小容积。也就是说，球体带有膨胀的意味，四面体带有凝缩的意味。

图4　五个正多面体

在五种柏拉图立体中，我们最容易想象前三种。但是由十二个正五边形构成的正十二面体，以及由二十个正三角形构成的正二十面体，我们很难在日常生活空间中发现。它们究竟是由几何学者的纯粹思考而推导得出的，还是由技术人员的经验得出的呢？自然界中有模型吗？——关于这个挑拨我好奇心的问题，我想先引用《暴力论》的作者乔治·索雷尔笔下的段落：

我认为，正多面体是由珠宝加工技师发现的。他们恐怕想要通过智慧，为高贵的物质制作出心目中最完整的形态。在他们进行暗中摸索之前，明显已经有许多几何学者们做过推理了。不知道究竟为什么一定要提出这种困难且没有好处的问题。总之，欧几里得在其书中第十三章也提过这个问题。（《关于实用主义的作用》）

索雷尔的这番意见与自古以来《苏达辞书》 ^[1] 的看法不同，而且与现在的柏拉图学者的见解也完全相反。现在的学者们认为柏拉图立体，特别是正十二面体的作图方法，是由柏拉图学院的数学家泰阿泰德通过纯理论证明发现的。它绝对不是索雷尔想象的那样由技术者的经验应用中产生的。柏拉图立体，就像它的名字一样，来自理念的世界！

但是在一般的传说里，五边正十二面体似乎是由南意大利的希腊殖民地，也就是大希腊地区的思想家发现的。西西里岛的火山地带盛产黄铁矿，这种冰冷的、带金属光泽的硫化物结晶，有时会形成接近正十二面体的形态，据说他们正是从中得到了启发。

这与之前所说的理念论完全相反，它认为自然界包含着所有人类想象得出的物体的原型。这个观点确实有趣，但是严密思考一下就会发现，形成正十二面体的五边形与晶体学的原理是互相矛盾的。结晶的构造十分紧实，不可能有五边形这种不稳定的形状。实际上，在黄铁矿结晶所形成的正十二面体五边形中，只有四条边的长度相同，最后一条长度不一样，是不规则的五边形。

现代人已经发明出了显微镜和电子显微镜，并且在自然界中找到了柏拉图立体的原型，我们就不用辛苦了。恩斯特·海克尔是达尔文主义的信徒，他在有名的《挑战者号远征报告》 ^[2] 中发表了四千余种美丽的放射虫骨骼图，其中就有展示规则的八面体、二十面体和十二面体的图片。

看看图片，这些原始动物的细胞构成了对称的石壳造型，简直就像蕾丝装饰一样纤细、像西班牙银饰一样精致，观赏它们就像欣赏自然的美丽艺术作品。人类制造出的器具和工艺品的设计原型，其实早在几亿年前就由造物主创造并悄悄地隐藏在自然之中了，不是吗？我被这种神秘的感动所震撼。比起内在论，这种感动也许更接近泛神论吧。而且在最近，人们发现某种病毒也有正四面体、正十二面体结构。

图5　放射虫的硅石壳　恩斯特·海克尔

让我们回到柏拉图的故事。

柏拉图学院的校长无比重视当时首屈一指的数学家泰阿泰德在立体几何学领域的发现，他为了在《蒂迈欧篇》中构筑宇宙论，巧妙地利用了这些发现。

也就是说，他将构成宇宙的四大元素与四种正多面体相对应，认为火来自正四面体，空气来自正八面体，水来自正二十面体，土来自立方体。他将剩下的正十二面体赋予最神圣的宇宙形成的创造者。但是就柏拉图自身而言，其实他似乎想将完全的宇宙视为一个球体。对现在的我们来说，这些说明有些牵强吧。总之，希腊人依据他们最喜欢的几何学原理，为无序的宇宙创立秩序，并且进行了详尽的说明。柏拉图曾写道：“还有第五种构造，神为了描绘万有的穷极的配置而使用它。”

在此我要再次提起刚才说到的黄铁矿。我想介绍柏拉图研究者皮埃尔—马克西姆·舒尔在《想象力与惊异》中提出的有趣看法。这位爱好臆想、风格独特的索邦大学教授经常引用巴什拉，依据他的想象，柏拉图的老友——生于尼多斯的欧多克索斯从埃及旅行回来后，将不少珍稀的东西带回雅典，赠送给柏拉图学院，也许其中就有美丽的矿物结晶收藏品吧。

原来如此。欧多克索斯以发明日晷而为人所知，但他不仅对数学和天文学感兴趣，我们也完全可以猜想到，他同样无比热爱博物志式的自然。柏拉图恐怕是在完美展示出几何学形态的矿物结晶中，看到了造物主构思出的、分有理念的物体的模仿像。现实只会展现出歪曲的形象，泰阿泰德发现的几何学模型原模原样地出现在现实的假象中。我们不难想象他有多么感动。

柏拉图哲学在中世纪曾被崇拜亚里士多德的经院哲学家们驱逐，但是到了文艺复兴时期又得以华丽复活，柏拉图立体随之被赋予独特的美学价值或是魔法价值。

柏拉图巧妙地利用五种立体解释了世界的构造，在十六世纪末期，轮到天文学者梦想着利用这些立体了。约翰内斯·开普勒是近代科学的创立者之一，他终其一生从未背弃占星学的魔法式信仰。开普勒的日心说以毕达哥拉斯式的、柏拉图式的神学为基础，这一点在沃尔夫冈·泡利与荣格共著的《自然解释与心》的第二部中有详细说明。

在1595年，二十四岁的青年开普勒脑中闪过一个从天而降的妙想——用柏拉图立体解释六颗行星之间的距离，这想法真是古怪至极。在三维空间中，正多面体的数量与太阳系行星之间的间隔数完全一致。这一致肯定不是偶然。试试看，画下五种立体各自的外接球和内切球，按照由大到小排序，在每一个球中嵌入下一个立体。也就是说，从外侧最大的立方体开始，按照正四面体、正十二面体、正二十面体、正八面体这个顺序排列，立方体的外接球是土星的轨道，内切球（同时是正四面体的外接球）是木星的轨道、正四面体的内切球（也是正十二面体的外接球）是火星的轨道……行星距离就是这么确定下来的。开普勒在他的第一本著作《宇宙的神秘》里详细地介绍了这一方法和理论。

地球的轨道是其他所有行星轨道的基准。为地球的运行轨道做一个外切正十二面体，这个正十二面体的外接球就是火星的轨道。为火星的轨道做外切正四面体，其外接球就是木星的轨道。为木星的轨道做外切正六面体，其外接球就是土星的轨道。那么，如果在地球轨道的内侧放置一个正二十面体，其内切球就是金星的轨道。在金星轨道的内侧放置一个正八面体，它的内切球就是水星的轨道。如此这般，便可以得到关于行星数量的基本原理。

不用说，在开普勒的时代，人们还没有发现天王星、海王星和冥王星。所以这位固执的天文学家是十分幸运的，因为他到离世为止一直坚信有六个行星。

开普勒如此得出的行星间的距离与实际观测的结果一样吗？六个行星之间真的刚好有五个柏拉图立体，并且有足够的空间让它刚好嵌入吗？答案当然是否定的。虽然火星、地球和金星的计算结果十分接近实际数值，但是并不适用于其他行星。对于开普勒而言，被完美和弦支配的天体的“毕达哥拉斯式和谐”比什么都重要，所以光是发现五种立体的排列方式，就已经令他十分满足。他让银匠用银和宝石制作了自己发现的宇宙模型，甚至想要将它献给符腾堡大公弗里德里希。开普勒与基歇尔和阿尔钦博托是同一时代的人，也就是说他们都是风格主义时代的人。

图6　开普勒的宇宙模型

在十六世纪初到后半期，卢卡·帕乔利的《神圣比例》、让·古尚的《透视法之书》等几何学理论书籍相继出版。此时德国的文策尔·雅姆尼策、洛伦茨·斯特尔等画家出现，他们绘制完全没有含义、毫无实用性的画，这些画只描绘用多面体和球体构成的几何学的世界。《风格主义绘画》的作者雅克·布斯凯 ^[3] ，将这些人制作的呈现奇妙对称的、错综复杂的幻想装置称为“某种博尔赫斯风格的神秘东西”，确实如此。

在丢勒创作的著名铜版画《忧郁I》（ Melencolia I ）中，描绘了一位长着翅膀的“忧郁女性”，她右手握着指南针，左手托着脸，露出茫然自失的表情，紧盯着一个形状不规则的巨大多面体，可以看出那是切割并打磨过的石材。说到当时除丢勒之外，其他著名画家绘制的包含多面体的作品，我就必须提起小汉斯·霍尔拜因的《大使们》（现藏于英国伦敦的国家美术馆）与《天文学家尼古拉斯·克拉策的肖像》（现藏于卢浮宫）了。这两幅画里都有天文仪器，而且还有表面雕刻着大量花纹的奇妙的十面体，这一点观赏者们应该会注意到吧。

柏拉图立体曾作为炼金术的象征，用于日晷的设计。关于这一点，菲尔卡内利 ^[4] 所著《贤者之屋》（1930年）的第二卷内容“爱丁堡荷里路德宫的日晷”可以作为参考。

据推测，菲尔卡内利可能死于1932年，他是二十世纪最博学的法国炼金术研究者，至今没人知道他究竟是谁，可以说他是个充满谜团的人。他有两本著作，除刚才提到的《贤者之屋》，还有一本写于该作四年前的首作《大教堂之谜》。菲尔卡内利这个富有古意大利风情的名字当然是笔名。据说他可能是J.-H.罗尼兄弟作家中的哥哥，也有可能是唯一自称是菲尔卡内利弟子的欧仁·康塞利耶特，还有可能是为这两本书绘制插画的“赫利奥波利斯同胞会”这个秘教团体的创始人朱利安·尚帕涅，不过，真相至今仍是一个谜。

让我们的话题回到应用柏拉图立体的日晷吧。

苏格兰古都爱丁堡的荷里路德宫与玛丽·斯图亚特的悲剧回忆有关，在宫廷深处的庭院里有一座形状奇特的建造物。菲尔卡内利写道：“这与其说是建造物，更像是一个放在底座上的结晶，像一个宝石。这个巨大的矿物标本，比起放在禁止普通人进入的庭院，其实更适合放在矿物学博物馆。”

这座建造物是在1633年，由英国国王查理一世命令宫廷石匠中的工长约翰·米尔恩（John Mylne）与另一位石匠约翰·巴托共同建造的。石材被切割为正二十面体，是一座几何学式的日晷；每个面上有半球状的凹陷，里面雕刻着示影针和各种装饰。底座以一根柱子支撑着这个多面体，底座下面还有三层相叠的五边形地基。整体中只有这部分显得很不协调，可能是后人修复的吧。

图7　爱丁堡的正二十面体日晷

我们所知的古代日晷多种多样，有由巴比伦的神官贝洛索斯（Berossus）发明的半球式日晷、萨默斯岛的阿里斯塔克斯（Aristarchus of Samos）发明的圆盘式日晷、尼多斯的欧多克索斯发明的“蜘蛛式”日晷、以锡拉库萨的斯科普斯（Scopas）为制作者的柱脚式日晷、帕特洛克罗斯（Patroclus）发明的斧头式日晷，还有阿米苏斯的狄奥尼索多罗斯（Dionysodoros of Amisos）发明的圆锥式日晷等等。但是据菲尔卡内利的判断，爱丁堡的正二十面体日晷与那些日晷的形式完全不一样，其中没有一个是它的原型。然而在希腊，日晷的古称是Gnomon，词源与Gnosis（知识）和Gnome（地精）相同，指的是被隐藏的知识与秘技。从原始含义的角度思考，爱丁堡的日晷究竟象征着什么不言自明。可以说，正二十面体的日晷既是真正的时钟，也是为了接近诺斯替主义的炼金术奥义而造就的秘密钥匙。

Gnome是帕拉塞尔苏斯依据希腊语的Gnosis （知识）创造出的词，众所周知，这个词指的是守护地下矿物、金属和宝石的妖精。虽然它是丑陋的小人，但是它本性善良，经常为人类立功。深埋在地下的矿物，与哲学家和炼金术师寻求的被隐藏的知识，在某些思想发展的本质方面似有相同之处。

正二十面体在柏拉图的《蒂迈欧篇》中是水元素，在爱丁堡的炼金术式日晷中是未知的结晶，是“智慧之盐”，是具象化的精灵或者火焰，也是亲切、喜欢照顾人的地精。总之就是人们进一步认知古代知识时不可或缺的东西。而它以结晶的形态表现这一点是有意义的，这个规则的正二十面体代表的不是物质，也不是物质的性质，而是物质的形式。盐在运动，是中间项，也是使物质结合的媒介，在炼金术中盐与结晶有相同含义。简单来说，它就是“贤者之石”。

在备受好评的《偶然与必然》一书的开头部分，分子生物学家雅克·莫诺提出了一个有趣的问题：应当如何区分人造物与自然物？

假如在不远的将来，火星派遣一艘宇宙飞船来到地球，想要解明地球上是否存在拥有主观意识的智慧生物。那么火星人应该以什么基准区分主观意识的产物（人造物）与自然物呢？莫诺认为在这种情况下，可以利用两种基准，也就是规则性和重复性进行区分。

我们可以以规则性为基准判断如下事实：由物理的力作用形成的自然物体肯定不会展现出单纯的几何学构造，例如平面、直线形成的棱、直角、精准的对称性等。另一方面，假设人造物通常显得相似而且不完美，那么恐怕以重复性为基准去判断，会更具决定性。因为，为了同种用途而制造的人造物体一般会无数次重复实现某种计划，所以总的来说，这些人造物体应该会再现其制造者的不变意志。从这一点来看，发现大量相同形状的物体，就是极有意义的一件事了。

接下来，宇宙飞船里走出从火星来的计算机，它开始工作了。它依照规则性和重复性，轻易地分辨出地球上的岩石是自然物，屋子是人造物。接下来，机器开始观察更小的东西，检查几块小石头。假如小石头的旁边有几块石英结晶，那么就算判断小石头是自然物，它仍会做出错误判断，认为石英结晶是人造物。——以上内容是对莫诺著作的总结。当然，假如火星飞船乘着时光机探索雅典的柏拉图学院，当它看到柏拉图立体的时候，肯定会将它当作人造物吧。

莫诺提出的这个值得深思的问题，让我们发现结晶构造其实具备一种反自然的规则性。那么就可以由此得出接下来的结论——结晶就是我们能看到的自然中最反自然的东西。也许正是因此，自古以来许多哲学家、炼金术师、神秘主义者与乌托邦主义者才会将其视为无比贵重的东西。虽说他们热爱自然的程度不亚于其他人，但他们却又不由得对自然的形状不定与繁杂产生厌恶，因此他们才选择从现实世界中抽取出那些怎么看都不像自然界产物的纯粹几何学形体，也就是结晶。

众所周知，柏拉图可谓第一位乌托邦主义者，他在《克里底亚篇》中提到过亚特兰蒂斯岛出产的神秘贵金属“山铜”（Oreikhalkos），也许这也是一种结晶吧。弗朗西斯·培根在《新大西岛》中提到本萨雷岛的学者乘坐着用雪松和水晶做的轿子，也许这里的水晶也是乌托邦主义者喜欢结晶的一个例子。不，康帕内拉和瓦伦丁·安德烈埃这些文艺复兴时期的神秘主义式乌托邦主义者曾经利用严谨的几何学创作建筑和规划城市结构，在他们的意识中，这可能是结晶的类推吧。而且我想在这里提一下，就在最近，科幻作家J. G.巴拉德在《结晶世界》中创造了美丽的反乌托邦。

结晶正是最反自然的物质，因此它也正是最乌托邦的物质。莫诺的规则性与重复性的特征只能在人造物的有限范围内出现，但是对于结晶而言，只要是地球上的元素，它就可以无限地再生产。而且结晶又漂亮又坚硬，有时还是透明的，它不知道什么是老朽和凋落，始终拥有原始的单纯性，可以耐受时间的腐蚀。结晶的构造与实质、形式与内在完全保持着一致，找不到任何区别，这一点也十分值得强调。如此想来，乌托邦主义者将结晶视为神的作品中最纯粹的东西，也就毫不奇怪了。

莫诺认为，“结晶之所以能够完整展示特定的几何学形状，是因为它的宏观构造直接反映出了构成它的原子和分子的大量简单重复的微观构造。换言之，结晶就是微观构造的宏观表现”。这么想来，自古以来许多乌托邦主义者和神秘哲学家热爱结晶，也许是因为他们在无意识中依靠直觉看透了物质最细微的构造。他们在科学出现前，已经掌握了科学的真理。

几何学是一门抽象的学问，虽然它和世界最古老的文化共同拥有漫长的历史，但是在某些方面与之极为相似的晶体学却只有不到三百年的短暂历史，这个问题值得深思。丹麦人尼古拉斯·斯泰诺是第一个发现结晶的面之间有特定角度的人，此时竟然已经是十七世纪后半了。对于这个问题，前文曾提到过的马克西姆·舒尔教授大致提出了如下假说：

使人类对结晶感兴趣的要因大致分为形状和颜色两方面。但是从古代的普林尼到中世纪的石谱作者，再到巴洛克诗人雷米·贝洛等结晶爱好者的发展看来，所有人只在意宝石的颜色，对形状几乎没有关注过。

舒尔教授的看法虽然简单，却直指问题实质。至少在诗歌和文学作品中，自古以来，宝石的颜色都比形状更居于优先地位。可以说，这一本质在巴洛克诗歌之后的浪漫主义和十九世纪末的象征派中都没有任何改变。例如巴什拉在《大地与意志的梦》中提到：“打开蓝宝石的宝石箱，空气之中蕴含的想象便纷纷向着蓝天展开翅膀，令人不禁想，这块石头仿佛吸收了天空的蓝色。”可见，这种想象力只因颜色而变得富于感性且情绪化，与科学式的抽象思考相反，它将我们导向炼金术和魔法等神秘幻想的方向。

当然存在着例外。在老普林尼《博物志》第三十七卷第九章中有如下内容：

为什么水晶会形成六边形的表面？找出其理由与寻找角的顶点为何形状不一的理由一样，都不简单。它的表面如此反光，什么技术都做不到。

——也就是说，普林尼甚至还注意到了左旋水晶和右旋水晶的不同。

随着近代的到来，以前的关联被逆转，相较于颜色，形状的重要性渐渐被人们发现。或许是随着精巧的玻璃制品和水晶吊灯的普及，民众从观赏宝石切面闪亮光辉的反射中获得了全新的快乐吧。威尼斯和佛兰德斯的富裕阶级开始喜欢上玻璃器皿和镜子，从而改变了以往的绘画世界的样貌，这是艺术史上最有趣的事件之一吧。许多科学和艺术开始对形状产生偏执，与形状相比，颜色是多么暧昧啊。关于笛卡尔思想中的“清楚、分明”（Clara et distincta），如果不对照他长居之地荷兰的静物画，就无法完全理解它的含义。

到了十八世纪后半期，法国的罗梅·德利勒使用量角器测得结晶的平面夹角度数，得以确认同种结晶的夹角角度总是相同的。同样，被称为“晶体学之父”的法国神父阿维研究解理面，证明了所有结晶的面由细微的小片（原始形态）结合而成。就这样，晶体学领域逐渐开始拥有一些合理的法则，自古以来的柏拉图立体也受到了影响。前文中曾稍有提及，结晶的世界里五次对称轴是不成立的，所以五种柏拉图立体里的正十二面体和正二十面体的资格受到怀疑，最终不得不被驱逐！

到了二十世纪，德国的物理学家劳厄发明出用X光观察晶格构造的方法。如今，晶体学已成为从原子角度研究物质构造的学科，运用晶体学知识也可以解明矿物复杂的原子排列。我们甚至可以从彩色照片中看到钨的晶格之中的一个个原子排列。在极短的时间内，晶体学取得了极大的进步。

“某种结晶在它出现时就已蕴含难以削弱的纯粹活力，那是它们难以抑制的、企望结晶的力量。”约翰·拉斯金曾在《尘埃的伦理》中如此写道。

赫伯特·里德悄悄地爱着约翰·拉斯金这位被视为老古董、老来疯的理想主义者，他在自身风格独特的乌托邦小说《绿童》中叙述了如下一番美丽的幻想：

美的愉悦，在于它某种程度上因超脱人为的形式和自然的原型而被知觉，最大的美被赋予最大程度上脱离必然性的可能范围的结晶体中。结晶体的结构有等轴晶系、正方晶系、斜方晶系、单斜晶系、三斜晶系、六斜晶系这六种，每一个晶系都有热心拥护它的人们。可以用这世界上的各类艺术用语去形容这些人的偏好。比如，支持位于一种极端的等轴晶系的人充满巴洛克式幻想，支持位于另一种极端的六斜晶系的人身上则带有古典式的简朴风格。

还有，安德烈·布勒东在《疯狂的爱》中宣言“赞美结晶”，并写下下文：

若论有机界带给我们的教训，则没有比结晶体更好的了。即使是艺术作品，如果它不能从其外部与内部彰显结晶一般的硬度、严格性、规则性以及光辉的话，就如同从波澜壮阔的人生中只截取断片一样，缺失了整体的意义。

细看岩盐的立方体，我不由产生强烈的愿望，能不能从远处去看一看我所居住的家、我的人生和我写下的东西呢？

现在，对于结晶的美学爱好已经明显与伦理要求密不可分地结合在一起了。

脚注

[1] 《苏达辞书》（ Suda 或 Sūidās ），十世纪由拜占庭学者编纂的百科全书，以希腊文写成，收录30000个词条。

[2] 全称为《挑战者号进行探索性航海科学结论的报告》（ Report of the Scientific Results of the Exploring Voyage of H.M.S. Challenger ）。在1872年至1876年间，苏格兰博物学家查尔斯·威维尔·汤姆森（Charles Wyville Thomson）从英国皇家海军处借得英国舰队挑战者号，并实施了一次科学考察活动。报告列出了四千余种前所未见的物种。

[3] 雅克·布斯凯（Jacques Bousquet，1923—2019），意大利艺术史家。《风格主义绘画》（ La peinture maniériste ）一书出版于1964年。

[4] 菲尔卡内利（Fulcanelli），法国炼金术研究者，真名不详，活跃于二十世纪二十年代。一说《贤者之屋》（ Les Demeures Philosophales ）出版于1929年。