3.1 学生成绩分布分析

在日常教育教学中，通常需要对学生成绩进行统计分布，包括平均分、最高分、最低分及学生成绩是否满足正态分布等，这对分析教育教学效果具有指导意义。

3.1.1 数据描述

本案例的数据文件为某高校一个班级的学生期末考试语文、数学和化学3门课程的成绩数据，如图3-1所示，现要求对这个班级的语文成绩进行分析。

3.1.2 频率分析

1.SPSS实现

（1）打开数据文件data3-01.sav，执行菜单栏中的“分析”→“描述统计”→“频率”命令，弹出“频率”对话框。在左侧的变量列表中选中“语文”变量，单击 按钮，将其选入“变量”框，如图3-2所示。

（2）单击“统计”按钮，弹出图3-3所示的“频率：统计”对话框。在该对话框中进行统计量的选择。

本案例欲研究该班级语文成绩的平均成绩、中位数、众数、最高及最低成绩，以及语文成绩的标准差、方差等，故勾选“四分位数”“均值”“中位数”“众数”“标准差”“方差”“范围”“最小值”“最大值”“标准误差均值”“偏度”“峰度”复选框，单击“继续”按钮返回主对话框。

（3）单击“图表”按钮，弹出图3-4所示的“频率：图表”对话框。欲研究语文成绩是否符合正态分布，故选中“直方图”单选按钮并勾选“在直方图中显示正态曲线”复选框，单击“继续”按钮返回主对话框。

（4）单击“格式”按钮，弹出图3-5所示的“频率：格式”对话框，选中“按值的升序排序”“比较变量”单选按钮，单击“继续”按钮返回主对话框。

（5）完成所有设置后，单击“确定”按钮执行命令，此时会弹出描述性统计表、频率分布表、直方图。

2.结果分析

表3-1为描述性统计表，由表3-1可以看出有效样本为30个，没有缺失值。语文的平均成绩为75.23（分），中位数为74.50，标准差为11.258，最小值为53，最大值为97等。

表3-2为频率分布表，可以看出学生语文成绩的频率分布，从左至右依次是频率、百分比、有效百分比和累计百分比。如语文成绩是72分的人数有2人，占比为6.7%。

图3-6为学生语文成绩的频率直方图，从图中可以看出学生的语文成绩基本服从正态分布，其中以70～75分的学生居多。

3.1.3 正态检验

1.SPSS实现

（1）打开数据文件data3-01.sav，执行菜单栏中的“分析”→“描述统计”→“探索”命令，弹出“探索”对话框。

（2）在左侧的变量列表中选中“语文”变量，单击 按钮，将其选入“因变量列表”框，在“显示”栏中选中“两者”单选按钮，如图3-7所示。

（3）单击“统计”按钮，弹出图3-8所示的“探索：统计”对话框，勾选“描述”“M-估计量”“离群值”“百分位数”复选框，在“描述”复选框下的“均值的置信区间”输入框中保持系统默认的95。单击“继续”按钮返回主对话框。

（4）单击“图”按钮，弹出图3-9所示的“探索：图”对话框，选中“因子级别并置”单选按钮，勾选“茎叶图”“直方图”“含检验的正态图”复选框。单击“继续”按钮返回主对话框。

（5）单击“选项”按钮，弹出图3-10所示的“探索：选项”对话框，选中“成列排除个案”单选按钮。单击“继续”按钮返回主对话框。

（6）完成所有设置后，单击“确定”按钮执行命令，系统会弹出描述性统计、M估计量、正态性检验等表格。

2.结果分析

从表3-3中可以看出共30个样本，没有缺失值。

从表3-4中可以看出语文成绩的平均分为75.23，标准误差为2.055，中位数为74.50，标准差为11.258，最小值为53，最大值为97等。

从表3-5中可以看出，M估计量中休伯M估计量、图基双权估计量、汉佩尔M估计量和安德鲁波估计量的区别就是使用的权重不同，发现语文成绩的4个M估计量离中位数和平均值均较近，说明数据中没有异常值。

百分位数就是将数值分成两部分，例如百分位数25代表的值表示有25%的值比该值小，有75%的值比该值大，从表3-6中可以得出本案例的百分位数。

从表3-7中可以看出分组后语文成绩的5个极大值和5个极小值。

从表3-8中可以看出柯尔莫戈洛夫-斯米诺夫（Kolmogorov-Smirnov）方法和夏皮洛-威尔克（Shapiro-Wilk）方法检验的结果，显著性均大于0.05，说明语文成绩的分布符合正态分布。其中夏皮洛-威尔克方法只有在样本量小于50时比较精确。

由图3-11可知，语文成绩呈正态分布。

图3-12是茎叶图，图中“频率”表示变量值的频次，“Stem”表示变量值的整数部分，“叶”表示变量值的小数部分。

图3-13中的两种正态图，一种是标准的正态概率分布图，另一种是离散的正态概率分布图。

标准的正态概率分布图使用变量的实测值作为横坐标，使用变量的期望值作为纵坐标，变量值为落点。图中的斜线表示正态分布的标准线，点表示变量值，变量值越接近于斜线，则变量值的分布越接近正态分布，本案例中语文成绩分布符合正态分布。

离散的正态概率分布图使用变量的实测值作为横坐标，以实测值与期望值的差作为纵坐标，如果数据符合正态分布，则图中的点应该分布于图中标准线的附近。在本案例中语文成绩分布符合正态分布。

图3-14所示为箱图，箱子的上边线表示第75百分位数，下边线表示第25百分位数，中间的线表示中位数，箱子上下的两条细横线表示除离群值和极值外的最大值和最小值。离群值是指离箱子的上下边线的距离为箱子高度的1.5倍至3倍的变量值，一般用“Ο”或“☆”表示，从图3-14中可以看出语文成绩没有离群值和极值存在。