2.3 两相旋转坐标系下的数学模型

从控制角度考虑，αβ两相静止坐标系下的各物理量为正弦变化量，若想将系统变量转换成直流变量从而简化系统控制，可建立两相旋转坐标系（dq坐标系），该坐标系的旋转速度与转子角速度一致。因此，从两相旋转坐标系观测各物理量将是直流信号。而将αβ两相静止坐标系转换成dq两相旋转坐标系的变换称为Park变换，其变换矩阵如下所示：

同理，两相旋转坐标系转换为αβ两相静止坐标系的Park逆变换矩阵可表示为

综上所述，应用Clarke变换可以将ABC三相静止坐标系下的电机数学模型变换为αβ两相静止坐标系下的数学模型，再通过Park变换可进一步变换为dq两相旋转坐标系下的数学模型。ABC坐标系、αβ坐标系与dq坐标系的关系示意图如图2-3所示。

因此，可得dq坐标系下的永磁同步电机电压方程如下：

式中， u _d 、 u _q 为d轴和q轴定子电压分量（V）； i _d 、 i _q 为d轴和q轴定子电流分量（A）； ψ _d 、 ψ _q 为d轴和q轴定子磁链分量（Wb）。

磁链方程为

转矩方程为

由于表贴式永磁同步电机d轴与q轴同步电感相等，因此式（2-13）所示转矩方程可简化为

根据上述SPMSM的dq坐标系数学模型，可知dq坐标系下的永磁同步电机等效电路图如图2-4所示。