2.2 SNSV方程全局吸引子的Hausdorff维数

2.2.1 SNSV方程的体收缩

考虑方程(2.1.1)在空间V上的微分

其中

对任意T>0，方程的解U∈C([0，T]；V )的存在性可以按照文献[44]中处理确定方程的方法类似得到.易看出方程(2.1.1)定义的流函数S(t，w)具有性质：映射 是可微的，且对任意 ∈V，微分形式 就是方程(2.2.1)的解.

给出体收缩之前，下面的两个定理是关键的.

引理2.2.1 对V中任一元素族 ，我们有

其中ϑ _j (j=1，···，d)是V中Span[U ₁ ，···，U _d ]空间的单位正交基.

证明 ：类似文献[8]，我们假设 线性独立， 不失一般性，我们直接假设 在V中是单位正交的.若 不是正交的，由通常的Gram-Schmidt变换，可以找到单位正交列 .因此我们有

和

进一步，因为 和 的线性性，可以推出

引理2.2.2 若 ∈V，把 记作 =1，···，d.则 =1，···，d，是方程(2.2.1)～(2.2.2)的解且满足

证明 ：对ϕ∈V，重写

运用Poincaré不等式可知上述范数与先前定义的∥·∥ ₁ 范数是等价的.

对时间微分可得

最后证得

注 2.3： 需要指出，由于SNSV方程较Navier-Stokes方程多了正则项(−α∆v _t )，线性初值问 题(2.2.1)～(2.2.2)与文献[8]第V.2.3 节的有所不同，文献[8]中对任意d∈N有

其中 =χ(τ )=(v(τ )，θ(τ ))且 是从V到由 ，···， 张成的空间的正交 投影.这与(2.2.7)有所不同.

下面给出体收缩.

定理2.2.1 记S是方程(2.1.1)～(2.1.3)生成的随机流， 是全局随机吸引子，存在正整数d和t>0 满足

我们有

故可得，对t>0，

运用v(τ )= ∈ 和定理2.1.4，进一步，由 的遍历性，我们可得

接着，我们有对任意t>0， ⩽ .

回顾 的定义，我们得到

对给定t>0，d充分大，推出 < 1.

2.2.2 SNSV方程吸引子的有限维数

定理2.2.2 SNSV方程(2.1.1)～(2.1.3)全局随机吸引子的Hausdorff维数是有限的.

证明 ：由定理2.2.1 可得，存在正常数d满足

这是满足定理1.1.3 条件的一个估计.

从定理2.2.1 的证明中看出，对特殊情况d=1，

由此条件 ∈ 也满足.最后我们证明对任意给定t>0，有 在 意义下趋于0.

和

于是有

可以推出

运用Gronwall引理，有

对方程(2.2.17)关于u−v做内积，得

我们得到

由(2.2.18)～(2.2.19)，有

其中c(t)>0 依赖于 t.回顾gδ(t)的定义，可以看到其在 意义下趋于0.故由定理1.1.3 可证. MNffqPRDLRinr+3vsWXqqrW73LCLPVbpMYC0cUw07LDKRsEh8rzT1v8bR4ELEE05