下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
本节研究随机Navier-Stokes-Voight方程的解的适定性，并证明方程存在全局随机吸引子.
我们研究下列三维随机Navier-Stokes-Voight (SNSV)方程：
其中D ⊂
是带有光滑边界∂D的有界区域，v=v(x，t)是速度向量，p是压力项，ν>0是kinematic黏性系数，α是表示流体弹性的长度参数，f是给定的外力场，n(t)是随机力场，记作
.我们假设W(t)是H-值无限维布朗运动，具有形式
其中
是完备概率空间(Ω，F，P)上的一列独立标准布朗运动(期望记作
)，
是标准正交基.
本节我们用到以下数学记号：
·L p (D)，1⩽p⩽∞和H s (D)分别是通常的Lebesgue和Sobolev空间.
·对v=(v 1 ，v 2 ，v 3 )和u=(u 1 ，u 2 ，u 3 )，我们记
·记
·H是集合V按(L 2 (D) 3 ) 范数的闭包.
·P是从( L 2 (D) 3 ) 到空间H的Helmholz-Leray正交投影.
·A：=−P ∆是定义在 H 2 (D) 3 ∩ V上满足齐次Dirichlet边界条件的Stokes算子.算子A是空间H的正定自伴算子，其逆算子A−1是从H到H的紧算子.
·我们记
，0 <
⩽
⩽···是Stokes算子A的特征函数
对应的特征值.
·
：=
，
=
，s∈
. V=
=
∩ H是Hilbert空间，运用Poincaré不等式，有
=H.
·对u，v，w∈V，我们定义下面双线性形式
和三线性形式
可以看成V×V→
的连续算子，其中
是V的对偶空间(见文献[82]).
·对任意u，v，w∈V，有
将SNSV方程的每一项通过Helmholz-Leray正交投影到散度为零的空间中，这样项∇p将会消失，为了书写方便，我们把P f和P n仍然记作f和n，这样得到下列方程：
不失一般性，我们令α=1.
下面我们研究上述方程解的存在性和唯一性，考虑下列辅助方程：
不难看出算子(I+A)是正定自伴的，其逆算子(I+A)−1存在且是紧的，满足
=
.这样方程(2.1.7)的形式等价于下列Ornstein-Uhlenbeck方程：
因为W(t)是H-值的Wiener过程，我们有
< ∞，从而
从文献[83]可知，过程
取值于D(A)有连续轨道的稳定遍历的解.特别地，运用(2.1.9)，有
是有限的.类似的，我们有
和
注
2.1：
需要特别指出，因为我们在Navier-Stokes方程上加了正则项
，从而形成
了SNSV方程，这里我们仅仅需要假设W(t)是H-值的布朗运动，相比于H. Crauel、A.
Debussche和F. Flandoli
[15]
条件更弱，在文献[15]中，W(t)需要是D(A)-值的布朗运动.
通过变换u(t)=v(t)−h(t)，得到u(t，x)满足下面随机系数方程
我们接下来给出方程(2.1.11)～(2.1.11)的解的适定性，在此之前先给出解的定义.
定义2.1.1 函数u∈C([0，T]，V )称为方程(2.1.11)～(2.1.11)的弱解，若满足对∀v∈V，有
成立.
定理2.1.1
假设
和
∈V，对
. e. ω∈Ω，下列结论成立：
(i)在时间[t 0 ，∞)上，方程(2.1.11)～(2.1.12)存在唯一解，满足u∈C[t 0 ，∞)，V .
(ii)记解为u(t，ω；t 0 ，u 0 )，映射u 0 7→u(t，ω；t 0 ，u 0 )对t⩾t 0 是连续的.
证明 ：我们应用Feado-Galerkin方法，记m是任意给定的正数.对每一个m，方程(2.1.13)的逼近解u m 满足
则有
其中u 0 m 是V中的u 0 到由e1，···，e m 张成的有限维空间上的正交投影，满足当m→∞时，u 0 m 强收敛于u 0 .系统(2.1.15)形成了函数ϕ 1 m ，···，ϕ mm 的一阶常微分方程，有
矩阵的元素a ij 满足
或
该矩阵是可逆的(见文献[84，引理3]).为此我们得到方程
其中
.由常微分方程理论，在某个时间段[0，T]上，这个方程存在最大解.
下面我们将得到
的一些先验估计.估计
∈
(0，T；V )∩
(0，T；V )将在下节给出，这里先给出
∈
(0，T；V )的估计.
在方程(2.1.15)上乘以
并对j=1，···，m，求和，我们有
然后我们得到
运用(2.1.4)、Hölder不等式、Ladyzhenskaya不等式 [82，85，86] 、Sobolev不等式 [87] 和Young不等式，推出
和
对上式关于时间积分，
因为
(0，T；V )∩
(0，T；V )且
，
是有限的，可以推出
∈
(0，T；V ).从而有
∈
(0，T；V )⊂ C([0，T]，V ).令m→∞，我们得到了方程(2.1.13)存在一弱解.
唯一性的证明是经典的：假设
具有相同初值方程(2.1.11)的解，令U(t)=
−
，则U(t)满足方程
方程两边关于U(t)做内积，运用(2.1.4)、Hölder不等式、Ladyzhenskaya不等式、Sobolev不等式和Young不等式，有
可以推出
应用Gronwall引理，我们推出方程解的唯一性，同时得到u(t)∈V连续依赖初值.
由映射
+h(t，w)可以定义一随机流函数ϕ(t，w)，其满足
下面证明在0时刻存在随机吸收集K(w).令B是V中的有界集，对
，u是方程(2.1.11)～(2.1.12)的解且u
s
=v
s
−h(s，w).
对方程(2.1.11)关于u做内积，得到
运用(2.1.4)、Hölder不等式、Ladyzhenskaya不等式、Sobolev不等式和Young不等式，可得
和
我们得出
由Poincaré不等式不难看出
其中
：=
，由(2.1.22)可得
因为h(t)是取值于D(A) ⊂
⊂ H的遍历过程，当s→−∞时，我们有
于是存在s 0 (w)，使得当s < s 0 (w)时，
并且当τ足够大时，
可以任意小，因此
类似文献[88]，我们有g(s)至多按多项式增长，又g(t)与指数衰减的函数相乘，由此可知上式积分存在.我们得到存在依赖B和w的时刻s 1 (w，B)，满足当s < s 1 (w，B)，t∈[−1，0]时，下式成立.
记K(w)是V中半径为
的球，我们得到对V中任意有界集B，存在
，满足当s <
时，
这就意味着在0时刻存在吸收集K(w).为了得到全局随机吸引子，需要对紧性进行研究.
我们有下面渐近紧的一些结论.
定理2.1.2 [8，11，89] 若半群S(t)：V→V能被分解成
其中Z(t)是V中的紧算子，若存在连续函数k：
×
满足R>0，当t→∞时，k(t，R)→0且有
成立，则有S(t)：V→V，t⩾0是渐近紧的.
定理2.1.3 方程(2.1.11)生成的半群S(t)在空间V中渐近紧.
证明
：令
∈V .我们首先将S(t)分解成
=
+
，其中Y (t)是由以下方程生成的半群
然后有z(t)=
是以下方程的解
其中u方程(2.1.11)具有初值u 0 的解.
对方程(2.1.27)两边关于y做内积，由文献[44]可得半群Y (t)：V→V是指数压缩的.
由Hölder不等式和Sobolev不等式，有
⩽
和
⩽
⩽
⩽
.这里我们仅验证
，其他类似.
由上述不等式和文献[44]的命题3.1 可知，(2.1.27)的解属于
，这意味着算子Z(t)映V入
.又因嵌入
⊂ V是紧嵌入，由定理2.1.2 可知S(t)是渐近紧的.
定理2.1.4 三维随机Navier-Stokes-Voight方程(2.1.1)～(2.1.3)具有全局随机吸引子.
证明 ：因h(t)是D(A) ⊂ V值的，由嵌入定理和定理2.1.3 可得随机流φ对P-a. e. w在V中是渐近紧的.由定理1.1.2 我们得到存在全局随机吸引子A(ω)，其吸收任意一个非随机有界集B ⊂ V .
注 2.2： 若进一步假设v0∈D(A)，对方程(2.1.11)两边关于Au(t)做内积，我们也将得到在 空间V 2 中存在随机全局吸引子.