1.3 章节安排

第2章研究了下列三维随机Navier-Stokes-Voight (SNSV)方程的渐近行为：

其中D ⊂ 具有光滑边界∂D的有界区域，v=v(x，t)是速度向量，p是压力项，ν>0是kinematic黏性系数，α是表示流体弹性的长度参数，f是给定的外力，n(t)是随机力场，记作 .我们假设W(t)是H-值无限维布朗运动，具有形式

其中 是完备概率空间(Ω，F，P)上的一列独立标准布朗运动(期望记作 ， 是标准正交基.

系统(1.3.1)～(1.3.3)描述了Kelvin-Voight黏弹性不可压流体的随机动力学，其确定模型(即n(t)=0)在文献[36]中在被作为线性黏弹性流的运动模型提出，可看到非黏性简化Bardina模型 ^[37–39] 与非黏性确定Navier-Stokes-Voight方程(1.3.1)～(1.3.3)是一致的.文献[40]将非黏性简化Bardina模型(非黏性确定Navier-Stokes-Voight方程)看作带有周期边界条件的三维无粘欧拉方程的正则化.文献[36]得到确定系统(1.3.1)～(1.3.3)(n(t)=0)存在唯一弱解，在文献[41，42]中，作者得到(1.3.1)～(1.3.3)(n(t)=0)生成的半群有有限维全局吸引子的结论.最近Cao、Lunasin和Titi ^[40] 得到了三维无粘确定Kelvin-Voight模型的整体正则性.确定三维黏弹性Navier-Stokes-Voight方程(即Kelvin-Voight方程)的正则性和全局吸引子在文献[43]和[44]中给出.

本章中考虑带有可加噪声n(t)的随机Navier-Stokes-Voight方程，研究其渐近行为.首先，我们通过引进辅助的Ornstein-Uhlenbeck方程，把带有可加噪声n(t)的随机Navier-Stokes-Voight方程转化成随机系数的偏微分方程.因为这样不用考虑随机积分，于是可以按轨道几乎处处来处理问题.通过一系列先验估计，我们得到了方程的适定性，从而定义了随机动力系统.利用随机动力系统理论我们证明了该系统具有一个全局随机吸引子.进一步利用定理1.1.3，得到Hausdorff维数的有界性.

第3章研究Boussinesq系统，它模拟了地球物理学和气候学中的动力行为.该系统由Navier-Stokes方程和盐度扩散方程耦合而成，由于流体边界盐度流量的不确定性，在边界考虑随机影响是合理的.记D ⊂ 是带有 光滑边界的有界区域，同时考虑带有随机力和随机边界扰动 ^[45] 的Boussinesq系统：

其中 = = ∈ 是速度向量， = ∈R是盐度， = ，压力为p，x=(ξ，η)∈D和t>0.这里∆是Laplace算子，γ是边界迹算子，∇是梯度算子，div是散度算子， 是Froude数， 是Reynolds数， 是Prandtl数， 和 是白噪声，k∈ 是垂直向上的单位向量.若随机边界条件(1.3.4)换成通常的周期边界条件，文献[46]给出了该系统的大偏差准则.

带有随机边界条件的随机抛物偏微分方程的动力学可以参考文献[47–50].本章的Boussinesq系统因耦合二维Navier-Stokes方程，处理方法有所不同.我们应用文献[45]中的策略把随机边界条件嵌入随机发展方程中，通过边界条件和方程线性部分的性质，我们可以构造一线性对称算子，其特征函数生成一个完备正交空间，然后在该空间上考虑方程的动力学性质.在[45]中，通过Galerkin逼近和一系列先验估计，得到了随机吸收集的存在，从而证明了可加噪声驱使的带有随机边界条件的Boussinesq系统具有全局吸引子.本章中我们考虑乘法噪声驱使的带有随机边界条件的Boussinesq系统，我们首先得到了该系统在给定空间中存在唯一弱解，然后运用弱收敛的方法和Laplace准则得到大偏差理论.

第4章研究气象学中的一个基本模型——原始方程.通过Boussinesq逼近，原始方程由有旋Navier-Stokes方程耦合温度和盐度扩散方程中推出，同时由于大气和海洋层的深度较地球半径非常的小，在大尺度意义下大气海洋垂直方向的运动远远小于水平方向的运动，所以我们在垂直方向的动量方程用流体静力学方程代替.欲了解更多详细的信息，参见文献[51]和[52].

原始方程数学框架下的研究源于J. L. Lions、R. Temam和S. Wang 1990年代的论文[53]和[54].他们定义了弱解和强解并且证明了弱解的存在性.关于局部强解的存在性和唯一性在文献[55]和[56]给出.定义在薄区域上，且初值依赖区域的薄度的原始方程的整体强解的存在唯一性在文献[57]中得到，突破性的进展由Cao和Titi ^[58] 给出，他们得到在模型顶部和底部满足Neumann边界条件的原始方程整体强解的适定性，文献[59]和[60]有类似的结论.在此基础上，文献[61]得到了全局吸引子的存在性.满足Dirichlet边界条件的解的正则性在[62]中给出.

在确定原始方程基础上考虑随机效应是合理的.可加噪声驱使的二维原始方程在文献[63]中被研究，类似三维Navier-Stokes方程，在研究三维原始方程时由于对流项的存在，较之二维情况更难处理. B. Guo和D. Huang ^[64] 研究了可加噪声驱使的三维随机原始方程的全局适定性和长时动态行为，得到方程存在随机吸引子，但该吸引子仅仅满足弱紧性质.首先，我们应用不同于文献[64]的先验估计、Aubin-Lions紧性引理、Riesz引理和一些连续性结论，同样得到强解的全局适定性，并且得到方程存在紧的全局吸引子，进一步得出吸引子具有有限Hausdorff维数.其次，我们研究二维乘法噪声驱使的随机原始方程.忽略盐度和温度方程的耦合，在文献[65]中得到了二维乘法噪声驱使的随机原始方程的弱解的存在性和唯一性.本书中，我们推广了文献[65]的结果，应用不同和更为细致的先验估计，得到耦合温度方程的二维乘法噪声驱使的随机原始方程的解的适定性，同时得到其满足Wentzell-Freidlin型的大偏差准则.注意到在文献[66]中，得到几类非线性随机模型的大偏差准则，其中包括二维Navier-Stokes方程、二维MHD模型、二维磁性Bénard问题和一些带有扰动的壳层模型，但因为本节中映射B不满足文献[66]中的条件(C1)，所以我们的结果不包含在

内.接着，我们考虑三维乘法噪声驱使的随机原始方程，应用Galerkin逼近、Itô公式和弱收敛方法，得到了方程解的适定性，其中一致先验估计是难点也是关键点.

对于全黏度的原始方程，黏性原始方程存在一个尚未解决的数学问题，即关于弱解的唯一性，通过将z-弱解的概念引入二维或三维黏性原始方程中，可以得出一些关于唯一性的结果，请参见文献[67–69].由于外力和内部不稳定过程的影响，近来关于随机原始方程适定性、正则性、随机吸引子以及不变测度的存在性和正则性，请参考文献[64，70–72].对于偏差原理和小时间原始方程的渐近性，请参见文献[73，74].对于无黏度的原始方程，在文献[75]中获得了爆破结果，另请参见[76]. Han-Kwan和Nguyen[77]对Sobolev空间有不适定结果.对于部分黏度的原始方程，它是介于适定和不适定之间的一个中间模型. Cao、Li和Titi ^[78，79] 研究了仅有水平耗散的原始方程.在周期设定下，通过考虑垂直速度扩散系数，得到了初值在H ¹ 附近时强解的全局适定性以及初值属于 时强解的局部适定性.不同于考虑消失的垂直黏度极限，通过一种直接的方法，特别避免了不必要的顶部和底部边界条件，Hussein等 ^[80] 对于仅有水平黏度的三维原始方程，研究了初值和时间周期问题，得到初值在 中的z-弱解的局部存在唯一性和初值在 中的局部强解存在唯一性.此外，若 对于q>2，局部z-弱解扩展到整体强解.对于部分高黏度和完全高黏度的情况，在[81]中，Hussein得到了高黏度Navier-Stokes和原始方程的弱解的强收敛性.在上述基础上，我们研究仅有水平耗散的随机原始方程鞅解的适定性.

第5章研究两类非Lipschitz条件下随机流体方程：Cahn-Hilliard-Navier-Stokes方程和原始方程，其中Cahn-Hilliard-Navier-Stokes方程由控制速度的Navier-Stokes方程和控制相位参数的Cahn-Hilliard模型耦合而成.利用迭代技巧、合理的假设条件、一致先验估计和弱收敛方法，我们给出了上述两个方程的全局适定性. 3MyxEUS5bAYFvxFKTDp06zB3dXnP8Xcf1RFw7QNDKhoDn+sD5haOH0noAPxKdNGM