1.2 大偏差

大偏差理论源于Donsker和Varadhan的奠基性工作 ^[24] ，经1980至1990年代众多学者的开拓发展，现已成为概率论的一个重要分支，在偏微分方程，马氏过程，动力系统及其随机扰动，统计力学的现代Giggs场理论，统计等众多领域都有广泛的应用.

我们给出动力系统中大偏差的一个定义.

定义1.2.1 ^[24] X是Polish空间，B(X)记为X的Borel σ-域.随机族{φ ^ε }若满足下列三个条件，则称随机族{φ ^ε }在X上满足好速率函数I的大偏差原理.

1 .I是好速率函数. I：X→[0，∞]称为速率函数，若对任意M∈[0，∞)，水平集{φ∈X：I(φ)⩽M}是X中的紧子集，则称I是好速率函数，若A∈B(X)，则I(A)=inf _ϕ∈A I(φ).

2.大偏差上界. 对X中任一闭子集F，有

成立.

3.大偏差下界. 对X中任一开子集G，有

成立.

关于随机偏微分方程和半线性发展方程大偏差准则已经有了很多的结果 ^[25–33] ，处理的方法均比较类似，对满足好速率函数 能够用其再生核Hilbert空间(RKHS)表示，对高斯噪声 驱使的随机系统，由一般的Schilder定理就可以推出大偏差准则.然而因为本文考虑的不是可加噪声，随机过程不是噪声的连续函数，这给处理带来难度.本书的方法是应用Laplace准则和弱收敛方法 ^[34，35] ，直接证明速率函数I的水平集是紧的，然后建立原系统的解弱收敛于将原系统噪声 换成它的再生核Hilbert空间中随机元素 的随机控制方程的解. MszQgmZMplGAyXN/Rp/SERt+14kgBsGspy3MbxYp+Z19DUdO+qv8IeWHUAze0Z7U