1.1 随机动力系统

随机动力系统可以看作是如下两类系统的结合：

·遍历理论意义下的保测动力系统 ，T为时间;

·光滑或拓扑动力系统.

称为度量动力系统或驱使动力系统，即概率空间 上满足如下两个条件的映射流，

1.(t，ω)7→ 是B(T)⊗F可测的;

2. →Ω是保测的，即 = ，

定义1.1.1 ^[9] 设 为度量动力系统.映射

满足

·ϕ(0，ω)=id;

·余圈(cocycle)性质：任给s，t∈T和ω∈Ω，

1.若ϕ可测，则称ϕ为ϑ驱使的可测随机动力系统.

2.若X为一拓扑空间，可测随机动力系统ϕ满足∀(t，ω)∈T×Ω，x ϕ(t，ω)x是连续的，则称ϕ为ϑ驱使的连续或拓扑随机动力系统.

3.若X为一光滑流形，连续随机动力系统ϕ满足对某个k，1⩽k⩽∞，∀(t，ω)∈T×Ω，x→ϕ(t，ω)x是C ^k 的，则称ϕ为ϑ驱使的光滑或(更确切地)C ^k 随机动力系统.

随机动力系统包括了许多类型，除了一些随机方程或随机映射迭代生成的系统，还包括一些生成斜积流的非自治系统，如概周期系统等也可以纳入随机动力系统的范畴(见文献[10]).但需指出的是非自治系统是比随机系统更为广泛和复杂的系统.

1.1.1 随机吸引子

无穷维动力系统的有限维的渐近行为是数学物理上的重要发现，这包括判断吸引子的存在性及其维数的估计 ^[7，8，11] ，其基本思路就是利用偏微分方程解的存在性和稳定性得到系统对应的解半群S(t)在适当的Banach空间中是连续的且有一个有界的吸收集，进而利用半群的一些紧性结论得到紧致的吸引子.对半群的紧性的研究还有很多深入的课题.对吸引子的有限自由度的估计，目前主要利用Lyapunov指数 ^[8] 或决定函数 ^[12，13] 等方法.

但当系统有噪声影响时，上述关于确定动力系统紧致不变集的讨论就不成立了，因此对随机系统考虑吸引子的问题就要重新定义不变集与吸引子的概念.这样仍然得到一个紧致的不变集，但这个不变集是随时间平稳变化的，称为随机不变集.下面我们介绍有关随机吸引子的基本概念和结论.更为详细的内容见文献[14–16].

设(X，d)是一个可分的完备度量空间，(Ω，F， )为一概率空间，ϑ _t 是Ω上保持 的度量动力系统.设ϕ是定义在X上的由ϑ _t 驱使的连续随机动力系统，见定义1.1.1.

首先引入一些记号.任给非空集合A，B ⊂ X，定义

d(x，B)=d({x}，B).注意对所有A ⊂ B，d(A，B)=0，因此d(A，B)并不是 上的一个度量.取值为X中闭集的集值映射K： ，若对任给的x∈X映射 是可测的.取值闭集的可测映射 称为随机闭集.

定义1.1.2 给定一个随机集K，其Ω-极限集定义为

易见是Λ _K (ω)闭集.

定义1.1.3 给定一个随机集K，若

则称K为ϕ前向不变的.若上述包含关系取到恒等，则称K为严格ϕ前向不变的.

命题1.1.1 ^[14] 任一个随机集的Ω-极限集是不变的.

定义1.1.4 给定随机集K和A，若

成立，就称随机集A吸引随机集K.

定义1.1.5 设A和K是随机集，且对几乎处处的ω，存在t _K (ω)，使得若t⩾t _K (ω)，有

则称A是吸收K的，t _K 称为吸收时刻.

定义1.1.6 随机吸引子I ^[15] 设ϕ是定义在X上ϑ _t 驱使的随机动力系统，存在随机紧集ω→A(ω)满足

1.ϕ(t，ω)A(ω)=A(ϑ _t ω)，t>0;

2 .A吸引所有的有界确定的集合K ⊂ X，即

则称A为ϕ的全局随机吸引子.

对于定义1.1.6 给出的随机吸引子的存在性有如下结论.

定理1.1.1 ^[17] 设ϕ是定义在X上ϑ _t 驱使的随机动力系统，假设存在一个紧致的随机集ω→B(ω)吸收任一个确定的有界集合K ⊂ X，则

为ϕ的全局随机吸引子且A是可测的，若X是连通的，则 .s. A是连通的.

定义1.1.6 中吸引的是确定的有界集合，进一步还可以引进某类依赖于ω的子集族，吸引子吸引的是这个族中的元素.令 为X中有界的Borel集组成的集族.设 为一类随机集D ⊂ 形成的空间

且对包含关系是封闭的.若随机集 和D满足D∈ ，对所有ω∈Ω有 ⊂ D(ω)，则 称为吸收盆.在实际应用中， 中的元素通常取为缓变随机集：

有如下定义的吸引子.

定义1.1.7 随机吸引子II 设ϕ是定义在X上 驱使的随机动力系统，随机紧集A∈ 满足

则称A为ϕ的 吸引子.

定义1.1.6和1.1.7给出的吸引子称为拉回(pullback)吸引子.在实际应用中我们把初始时刻移到−∞，对固定的ω∈Ω考虑解在t=0时刻的值即可.为了得到吸引子，紧性的讨论是必须的，然而这往往是困难所在.为此我们引入稍弱的条件——渐近紧，从而得到随机吸引子的存在.

定义1.1.8 令ϕ是定义在Polish空间X上的随机动力系统，若满足对任意有界序列 ⊂X，当 →∞时，序列 在X中预紧，则称ϕ是渐近紧的.

对渐近紧的随机动力系统ϕ我们有如下定理.

定理1.1.2 ^[18] 若ϕ是渐近紧的连续随机动力系统，K(w)∈ 是一个吸收集，则ϕ存在唯一的全局随机紧吸引子

1.1.2 有限Hausdorff维数

无穷维动力系统的全局吸引子理论中的一个重要结论就是吸引子的Hausdorff维数的有限性，即便系统的轨道依赖于无穷多个自由度，但它的渐近行为仍可用有限多个自由度刻画.对于随机动力系统，Crauel和Flandoli ^[19] 得到了某些系统随机吸引子的有界Hausdorff维数，但他们的方法要求噪声是有界的. Debussche ^[20] 利用“随机squeezing性质”得到了某些系统的Hausdorff维数的有界性，其并不要求噪声是有界的.同样的方法被Langa推广到分形维数上 ^[21] .然而，在确定动力系统中，维数的最佳估计并不是通过squeezing性质得到的，而是通过使用Lyapunov指数方法得到的 ^[22] . Lyapunov指数方法被Debussche ^[23] 推广到随机情况中，并且得到了Hausdorff维数的上界估计.在文献[23]中指出，应用类似的讨论能够得到分形维数的有界性.

下面给出得到有限Hausdorff维数的一些基本理论.

定义1.1.9 一度量空间H的子集Y的Hausdorff维数dimH(Y )是指

其中，µ _H (Y，s)是Y的s-维Hausdorff测度(见文献[8]).

我们回顾一随机动力系统的随机紧不变集的体收缩与有限Hausdorff维数之间的关系.设S是可分Hilbert空间关于范数|·|的连续随机动力系统，令 是S的严格紧不变集，称S在X上弱可导，即满足对 ，对任一个u∈X(w)，在t>0时，存在线性映射 ：H→H使得

是有限的，其中δ>0，并且对给定t>0，当δ→0时， →0 .s.

令

下面是得到有界Hausdorff维数的一个重要定理.

定理1.1.3 ^[19] 设S是可分Hilbert空间H上的一个随机动力系统，令 是一随机紧集，且关于S严格不变.假设S按(1.1.1)在X上弱可导，若存在d和 >0满足 .s.

且

· (t，w)∈ 对t⩾0成立，

· (t，w)∈ 对t⩾0成立，

· (t，w)在 意义下趋于0，其中t>0，

则X的Hausdorff维数满足dimH(X)⩽d. iHlRis+JoyCx6NsKLsMspkGF/TZdDEFlFbKnbTo7x/SmE5MC+bZKo98kFCczj3sd