前言

本书主要关注几类流体力学方程的随机动力学性质和大偏差，研究方程解的适定性、随机吸引子、有限Hausdorff维数、大偏差准则等内容.

动力系统的研究起源于19世纪的H.Poincaré和A. M. Lyapunov对力学系统稳定性的研究.动力系统在20世纪中期形成了基本的理论框架，并在以后几十年里取得了巨大的进展.线性动力系统的研究比较简单，可以看作是线性代数的问题，而非线性动力系统却异常复杂，目前仍然不能够很好地处理此类问题.动力系统可分为有限维状态空间的动力系统和无穷维空间的动力系统.前者的一些理论已经发展得比较成熟，包括稳定性理论、正规型理论、不变流形理论、分支理论、遍历理论等(见文献[1–3]等).无穷维系统所关注的是发展型偏微分方程所描述的系统的解的存在性、正则性、稳定性，全局吸引子的存在性及其几何拓扑结构.从动力系统的角度来看，全局吸引子的存在性及几何拓扑结构更受关注.由于空间维数的无限性以及紧性的缺乏，问题变得困难，但近十几年吸引子、不变流形、不变叶层、惯性流形等方面取得了很大的成果(见文献[4–8]).由于广泛的实际应用背景如流体力学、大气科学、生命科学飞速发展的推动，无穷维动力系统的研究目前是一个十分活跃的研究课题.文献[7，8]对各类发展方程的全局吸引子的存在性、维数的估计以及惯性流形做了系统的介绍.

人们在对一实际问题建立了确定的模型后总希望模型能更多地反映实际情况，并希望通过收集到所有数据即可预测未来状态，然而事实却总不能如人所愿，甚至对某些问题用确定的方法无法建立合适的数学模型.例如，大气科学、流体力学、化学反应中的问题在维数、时间和空间的不同尺度间分离很大，而且由于系统内部自激产生大量“噪声”，外部也有许多不可预知的因素影响实际的系统，虽然丢掉的信息对整个系统似乎很“小”，但非线性系统的动力行为非常复杂，对扰动有很强的敏感性.对这些丢掉的信息的补偿，随机作用是一个比较理想的替代.

随机动力系统是联系动力系统和随机分析的桥梁.在1980年代，Eloworthy、Baxendale、Bismut、Ikeda、Watanabe、Kunita等一些数学家发现一些随机方程的解不仅定义了一组随机过程，事实上也给出了一个随机微分同胚流.这样就将随机微分方程和动力系统联系起来，同时使得我们对随机微分方程的一些经典结果可用动力系统的观点来理解.德国数学家Ludwig Arnold ^[9] 领导的Bremen小组创建并推动了随机动力系统的发展.

本书的内容由笔者博士期间以及近几年的成果整理而成，并作为偏微分方程方向硕士研究生讨论班的讲义.在研究的过程中，得到了众多专家学者的帮助和指导，在此对Björn Schmalfuß教授、段金桥教授、黄建华教授、陈玉娟教授、李梅教授、吕广迎教授、林琳副教授、肖庆坤副教授、陈涌副教授、刘辉副教授等致以最诚挚的谢意！感谢导师高洪俊教授对笔者研究工作的长期指导和支持！

由于时间、精力和水平有限，本书难免存在疏漏和不足，恳请各位同仁和读者批评指正.

该书受国家自然科学基金(No：11701269)资助.

孙成峰
2021年10月于南京财经大学