3.1 模型和一些预备知识

令D ⊂ 具有C ¹ 光滑边界∂D=Γ的有界区域，研究带有随机力和随机边界动态边界条件的Boussinesq系统 ^[45] ：

我们记

其中p⩾2. L ² 范数记为|·|.我们定义新的函数空间，其包含了边界和散度为零等性质.

定义

其中 是通常的Sobolev空间，空间 由 给出，可以定义装备模 ：= (见文献[8，p.48]).

考虑内积：

装备模

上述范数与通常的 范数等价.记H为V在 范数意义下的闭包，V是V在 范数意义下的闭包， 是V的对偶空间.我们把Boussinesq系统写成发展方程：

其中

特别地，对光滑的 和 ，有

和

注意到B ₁ 和B ₂ 是双线性形式，在Navier-Stokes方程 ^[82] 中已经被很好地研究了.

我们记b(u，v，w)=hB(u，v)，wi有下列表达形式：

以及对

有

由文献[45]可知， 和 正定自伴算子，并且由算子A可以定义下列函数空间.这是合理的，因为 是紧的，所以A的谱是离散的，并有有限重数.记 为A的谱， 为相应的特征函数，其形成了H中的完备正交基.上述所有性质和文献[47]中提到的类似.我们引进函数空间：

其中D(A ⁰ )=H和D(A ^1/2 )=V .在不产生混淆的情况下，我们记C和c为常数，其在不同的表达式中可能取不同的值.

引理3.1.1 ^[45] 对U，V，W∈V，下列性质成立：

且

引理 3.1.2

证明 ：由不依赖于边界条件的二维Ladyzhenskaya不等式(见文献[136，引理5.27])和文献[93]中的不等式

有

本章中， 和 是定义在滤子概率空间(Ω，F，F _t ， )上的独立Wiener过程，分别取值 和 .各自存在线性对称正定协方差算子 和 .记Q= ，它是Hilbert空间H上的线性对称正定协方差算子.假设 、 和Q是迹经典的(亦是紧的 ^[83] )，则tr(Q) < ∞.

类似文献[46，94]，令 ，则 是Hilbert空间，内积为

装备范数 .嵌入i： →H是Hilbert-Schmidt的，因此是紧的，进一步有 =Q.

记 是S构成的线性空间，其中S满足 是从H到H的Hilbert-Schmidt算子.空间 装备范数 = ，其中 是S的伴随算子.

假设 噪声强度σ：[0，T]×V→ 满足下列条件：

假设A ：存在正常数K和L满足

我们假设σ(t，φ)=σ(φ)，因为在假设A的条件下，时间依赖的噪声强度可以直接由σ(φ)推广得到. NTZ7PT0M1t7QIS+leC8UGuRlIpJ0+6bX4xxiTMVaE4nI1EZ2aTGyod66F6lyQA3U