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课前慎思
“用圆规画圆”是九年义务教育课本《数学·四年级第一学期（试用本）》第五单元“几何小实践”中的教学内容。本单元包括“圆的初步认识”“线段、射线、直线”“角”“角的度量”以及“角的计算”五部分内容，其中“用圆规画圆”属于“圆的初步认识”的第二课时内容。教材通过出示圆规使用方法，引导学生自主尝试画圆，并借助圆形的对称性探究“ d =2 r ”的关系，在画圆练习的过程中掌握画圆的技能和技巧，同时感受几何的美。
学生通过已有的学习经验和生活经验的积累，对圆形物体有了初步的感性认识，并且学生在三年级学习轴对称图形时，通过动手操作，积累了有关圆的经验，认识了圆的对称性。在本单元“圆的初步认识”第一课时，学生对圆的认识进行了巩固，并能够借助生活中的工具画圆，在实操中对圆的半径、圆心、直径有一定感知，为后续探究半径与直径关系，并借助圆的特性解决问题做好了进一步学习的准备。
在本课时，学生将使用圆规正确画圆，进一步体会圆的奥秘以解决问题，体验知识发生、发展的过程，从而培养学生的数学思维能力。除此之外，学生在日常生活中对画圆工具——圆规有一定的了解，但对四年级的学生来说，实际画圆操作规范还不够，需要教师的帮助和多次练习。四年级学生正处形象思维向抽象思维的过渡阶段，在解决有关圆的问题上存在一定困难，需要借助图形和操作来建立表象。
（1）“用圆规画圆”是一节动手实操课，如何让学生在画圆活动中不断内化画圆的两个元素的作用？
（2）如何借助渐进式提升的任务驱动，将基础的“画圆”提升到灵活的“用圆”，让学生在操作中感受空间观念？
（3）在基于学生认知水平下，如何深挖圆的特征，探索利用图形描述来分析问题，以形成图形的抽象，培养学生从复杂图形中提取信息的能力，进一步提升空间观念？
（4）如何将几何与生活相联系，发现生活中的几何图形，并在学习中体验几何图形之美，以促进学生空间观念的形成？
（5）通过用圆规画圆，体会画圆工具——圆规的妙处，感受前人发明工具的努力与创意。
教学目标与教学重点、难点
教学目标：
（1）通过看、说、练等活动，学会用圆规画圆的方法。
（2）在动手操作、小组探究的过程中，掌握半径和直径的关系。
（3）通过问题情境，能够按要求画圆，并巩固对圆的特征的认识。
（4）在学习圆规用法并运用圆的特征的过程中，激发学习数学的兴趣，感受几何之美，体会发明工具的意义。
教学重点：
（1）发现圆规的使用方法，并能正确画圆。
（2）认识半径和直径的关系。
（3）运用圆的知识解决相关问题。
教学难点：
会借助圆规灵活画圆并运用圆的特征来解决问题。
教学片段及分析
教学片段一：认识圆规，操作探索
（1）尝试画任意圆。
①设问：你用过圆规画圆吗？
②要求：今天我们来尝试用圆规画圆，但是这一次请同学们带着问题来画圆，给大家1分钟的时间，边画圆边体验用圆规画圆的妙处。（板书；用圆规画圆）
③提问：你在1分钟内用圆规画了几个圆？
④思考：你觉得用圆规画圆和上节课用别的工具画圆相比，两者各有什么妙处？
⑤交流反馈。
a．针尖：确定圆心，方便固定。
b．笔尖：用于画圆。
c．两脚之间的距离：表示半径，可以调节。
d．柄：圆柱体便于旋转，齿轮防止打滑。
⑥播放视频：画圆方法讲解。
⑦追问：在画圆的过程中，你有什么小诀窍吗？
预设：画圆时在下方垫草稿本，保护桌面，防止打滑；旋转时倾斜角度，方便画圆。
⑧评价：你们真会动脑筋！使用圆规能帮助我们画圆更便捷美观，其实工具的发明都有它的意义，都是前人努力实践创造的智慧结晶。你们善于观察、善于思考，老师相信你们今后也能成为小小发明家。
（2）练习画定圆。
①动手操作：要想画的圆美观，还需要同学们多多练习。现在我们掌握了用圆规画圆的步骤和要点，请同学们再来试一试，画出规定大小的圆。
②活动要求。
a．男生画一个半径为5厘米的圆，女生画一个半径为7厘米的圆。
b．标注圆心、半径。
c．使用圆规注意安全。
③展示交流：说一说你是怎么画圆的。
追问：如何判断画的圆是否符合要求？
验证：用直尺测量半径。
④评价：你的方法真棒！通过测量，我们发现同学们画的圆都是符合要求的。
分析一：
工具的运用仅靠教师讲授方法是不够的，在学习圆规用法的过程中，需要放手让学生自主操作，并对学生画圆的结果进行肯定，鼓励学生主动体验，发现圆规这一画圆工具的优势，感受工具发展优化的整个过程及其现实意义，体会工具的演变是人类文明发展过程中的一个必然规律。通过渗透德育教育，使学生领略工具发明的伟大，实现学科育人的价值；通过经历知识发展的过程，让学生动手“做”，在“做”中学习数学，并在表达交流过程中完善对圆规的认知。
整个工具探索的环节主要分为“画任意圆”“画规定大小的圆”，在提高学生动手操作能力的同时，规范并养成良好的画圆习惯，帮助学生逐步形成对几何图形的表象，为后续探究圆的奥秘打下基石。
教学片段二：借助模型，探究关系
（1）对称性。
①找一找（折一折）：老师给每一位同学的桌上放了一个剪好的圆形纸片，请通过你喜欢的方法来发现圆的奥秘。
②思考：通过探究，你有什么发现？
预设：圆是轴对称图形；圆有对称轴。
追问：圆有几条对称轴？它们有什么特点？
预设：无数条；都交于一点。
总结：通过动手操作，我们发现对折后的折痕所在的直线都是对称轴，它们都交于一点，这个点就是圆心。而在圆上的部分，经过圆心且两端都在圆上的线段，叫作直径，一般用字母 d 表示。
③辨析：下面哪些图形（见图1-27）是圆的直径？
图1-27
（2）半径与直径的关系。
①比一比：找关系。
探究：找一找，测一测，请你对同桌说一说，你所拿到的圆形纸片的半径是多少，直径是多少。
②思考：在同一个圆中，半径和直径之间存在什么关系？（见表1-3）
表1-3 半径与直径的关系
③交流反馈：在同一个圆中，直径的长度是半径的2倍，半径是直径的一半。
④追问：所有圆的直径和半径的关系是不是都是这样的？请你验证。
⑤评价：结合图形，我们观察到在同一个圆中，直径中包含着两个半径。通过验证发现，所有圆的直径和半径都存在这样的关系。
⑥追问：你能用字母来表示圆的直径和半径的关系吗？
板书： d =2× r ， r = d ÷2。
（3）练习画圆，夯实要点。
任务驱动，强化要素。
活动：补圆。
图1-28
①出示：半圆。
②提问：你能根据所提供的信息将这个半圆补充为一个完整的圆吗？（见图1-28）
③要求：自主完成学习单，若有困难，同桌两人协作完成。
④学生作品展示。
⑤交流反馈。
⑥评价：同学们从题目中找到了画圆所需的信息，知道了直径，并借助 d =2× r 的关系得出半径，还确定了圆心的位置，成功地将这个半圆补充成一个完整的圆。
分析二：
数学家希尔伯特在其名著《直观几何》一书中谈到：“图形可以帮助我们发现、描述研究的问题；可以帮助我们寻求解决问题的思路；可以帮助我们理解和记忆得到的结果。”其中直观与操作在学生形成几何概念中有着极为重要的作用。圆的对称性及半径与直径的关系的探究较为抽象，需要学生动手实践，将“虚”的关系转变为“实”的数据和图形。在该环节，让学生借助老师所提供的圆形纸片探究圆中的奥秘。学生通过对折，发现圆的对称性；通过测量验证，发现圆的直径和半径之间的关系。在该教学过程中，要给予学生充分的时间进行观察、测量、操作，对身边事物产生直接感知，进一步巩固空间观念。
由于对圆形纸片学具进行了设计，有半径3厘米、5厘米、6厘米、8厘米的圆，因此学生的动手操作为探究圆的半径和直径的关系提供了数据支持，进而借助数形结合和不完全归纳，通过分析验证得到普遍规律，发现关系并得出 d =2 r 。在此过程中，学生不仅感受到“数的特征”，更体会到“形的特征”，也体现了数学知识获得的严谨性。
紧接着设计将半圆补充完整的活动，旨在让学生在实践中感知和强化圆心、半径、直径相关知识。学生借助几何直观分析问题，在认知和思维提升的同时，深刻体会到画圆时圆心和半径的重要性。
教学片段三：几何直观，强化巩固
（1）运用要素，灵活机动。
活动一：画同心圆。
①活动要求：在同一个位置，画三个半径分别为1厘米、2厘米、4厘米的圆。
②学生作品展示。
交流：你是如何画圆的？
③观察：你有什么发现？
追问：圆的大小由什么决定？
④总结：圆的半径决定了圆的大小，若半径越大，则这个圆越大。如我们所画的一样，同一个位置就是同一个圆心，半径不同的几个圆是一组同心圆。
活动二：
①提问：你们觉得同心圆和生活中的什么实物图形很相似？
预设：靶子。
②评价：同学们真会观察，能够将几何图形和生活联系在一起。
③情境：小胖正在靶子上玩射击游戏，他所用的就是我们所画的这组同心圆，你们还记得它的半径吗？小胖想让同学们猜一猜他射中的位置。仔细听，他给了大家一些提示。
④播放音频1：我射中的位置在半径是2厘米的圆外、半径是3厘米的圆内。
合作交流：你能根据小胖的描述，选择符合要求的射中位置吗？（见图1-29）
图1-29
学生预设：第一个和第四个都有可能。
追问：为什么第一个和第四个都有可能？请你用荧光笔标出他射中的范围。
⑤播放音频2：我射中的位置距离靶心3厘米。
指一指：射中的位置。
追问：为什么在这个圆上？
评价：同学们真棒！半径为3厘米的圆，圆上的任何一个点到圆心的距离都是3厘米，都有可能是小胖射中的位置。
（2）创意画圆，体验几何美（机动）。
①过渡：通过本节课的学习和辨析练习，我们已经掌握了用圆规画圆的方法。在生活中处处有圆形图案，如奥运五环、太极图等，现在就让我们利用圆规，一起动手设计一个由圆形组成的图案吧！
②活动要求。
a．在正方形白纸上作图。
b．绘制好后可涂色美化。
③作品展示（板贴）。
分析三：
现代数学教学论提出，数学教学实质上是思维活动的教学，没有思维就谈不上数学教学，更谈不上培养能力、开发智力，故练习环节将重点放在对学生几何直观的培养上，不断加深学生对圆的基本要素的认识。在此环节采用渐进性内容和连续性情境展开练习，设计由半圆再到同心圆，由一个圆到多个圆的任务环节，在巩固学生画圆的同时，引发学生的思维碰撞，感受圆心和半径的重要性。接着进一步由同心圆引申到生活中的靶子，让学生根据小胖的描述进行判断和分析，锻炼学生的发散性思维。几何直观常常靠逻辑支撑，通过将射中的范围慢慢缩小，让学生观察图形特征，思考图形变化。本环节由“形”到“面”，最终聚焦到点，类似于学生在学习图形时的发展规律（体—面—棱），是对学生图形处理能力和基础知识是否扎实的考验。教师在该环节不断渗透思维的培养，引导学生思的交流、思的反馈、思的深化、思的发展，对本节课内容进行升华和再创新，可让学生在参与趣味游戏的同时，感受到学习圆的乐趣。
最后，通过本节课的实践和思考，学生的动手操作能力和借助几何直观分析问题的能力都有一定提升。因此，在本节课的最后，鼓励学生设计由圆形组成的图案，体验用圆规画圆的乐趣，在设计圆形图案的过程中，不仅提升了学生使用圆规作图的技能，还对圆的半径、直径知识进行再内化，多个圆的叠加和组合也是对学生空间观念的培养，使其进一步感受几何之美。
课后思考
“用圆规画圆”这一课的知识与技能教学目标是让学生学会使用圆规画圆的方法，在初次设计教学环节时是通过“观察圆规，对应画圆要素发现圆规各部分的功能”，接着让学生根据“先定圆心，再定半径，然后画圆”的步骤进行画圆。通过试教发现，这种填鸭式教学对于学生认识圆规这一画圆工具的学习效果并不佳，学生只停留在模仿阶段，因此，在最终环节设计上采用开放形式，给予学生体验机会，在体验中感受圆规的简便，在探索中悟出圆规各部分的功能。
实践证明，将重心放在学生的感受和体会上，学生主动性更高，发现圆规各部分的好处更全面，教学环节上“具体说说哪里简便”引导学生体会画圆的过程，也让学生经历了工具发展的过程。带着问题探究对学生的学习和探索有一定指向性，体现教学过程中的深入学习。
通过动手操作积累经验，观看视频巩固操作，表达思考体验简便，即“动—看—思”的环节设计，使得学生对画圆步骤掌握得更扎实，体会得更深刻。
通过自己对本堂课目标达成情况的评估，笔者发现学生在应用圆的知识解决问题方面还较薄弱，因此考虑到是不是自己在设计时“为了环环相扣而设计”，忽略了设计的意义所在。最后一个聚焦同心圆、借助几何直观分析靶子射中位置的活动，能够从几何图形的视角培养学生的图形处理能力，而这一层面的培养对学生后续学习圆的知识是否有所帮助，是教学后应思考的。
在同心圆练习环节中，笔者利用信息技术展示动画来帮助学生分析几何问题，未考虑到学生能力的差异性，观察和实践在成效上往往有一定偏差，空间与图形方面的教学既要保留学生作图的痕迹，又要呈现动画帮助学生理解，因此找到信息技术运用和动手操作体验的平衡点是关键。若让学生在自己画的同心圆上进行探究，用荧光笔标出可能射中的范围，对大部分学生的理解都有更大的帮助。
除此之外，环节精而不杂是一堂课环节实施与把控的重点。合理进行环节的选择有助于教学的有序展开。本节课环节紧凑、活动丰富，时间安排上还需适当把控，有详有略，以突出教学重点。
学生的表达是最好的教学生成，在概念的归纳上不能急于求成。通过对圆规的探索和实践，学生能够借助表象形成概念，教师需要做的是期待学生的发现，引导学生的表达。在探究圆规用法环节，学生发现“使用圆规倾斜角度能更好画圆”；在探究半径与直径关系环节，学生借助图形找到了关系的普遍性；在探究小胖射击射中位置环节，学生能够清晰描述和分析图形。空间观念的发展常常伴随着推理，这些课堂生成的表达不仅体现了学生的思考过程，而且也体现了学生的几何推理能力。
积累表象、动手操作、联想想象是发展学生几何直观能力的关键。教学环节递进式的发展促进了学生空间观念的形成，教学活动将具体的动手操作与抽象的几何概念相结合，使学生经历从具体到抽象的思维化，因此教师应着眼于学生操作以助力活动内化。有时教师的适当放手能够激发学生的数学再创造兴趣，使得学生从“学会”到“会学”，再从“会学”到“会用”，最终从“会用”到“研学”，通过体验收获能力，通过经历推动创造，达到课堂教学的目标。