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课前慎思
“圆的初步认识”是九年义务教育课本《数学·四年级第一学期（试用本）》第五单元“几何小实践”中的教学内容。圆是一种常见的平面图形，也是最简单的曲线图形。本课学习是在学生认识了长方形、正方形、平行四边形等平面图形，并直观认识了圆的基础上进行的，对于丰富学生“空间与图形”的学习经验，发展学生的空间观念，使其感受数学价值，具有重要的地位和作用。在“圆的初步认识”中，学生需要通过学习了解圆各部分的名称，掌握圆的特征，学会用圆规画圆等。
学生通过前几年的学习与生活中积累的经验，对圆形物体已有了初步的感性认识，但对圆的理性认识还模糊不清。四年级的学生有一定的动手操作能力和合作意识，能够合理分工，将自己的设计进行简单的绘制并通过合作制作实物。本节课中需要学生在制作工具的过程中不断发现与圆有关的知识，获得对圆的理性认识。
（1）如何基于学生的认知水平和已有的生活经验，将圆的概念潜移默化地进行渗透？
（2）如何在课堂活动中，让学生真正经历“发现问题—分析问题—解决问题”的过程？
（3）知识的学习不应该仅仅存在于课堂内，如何将学习延伸到课外并提升学生的综合素养？
教学目标与教学重点、难点
教学目标：
（1）通过制作画圆的工具，初步认识圆的概念，并能指出圆心和半径，初步理解圆心、半径与圆的关系。
（2）通过项目化学习的模式，提升发现问题和解决问题的能力，在小组合作中建立合作意识。
（3）通过交流反馈锻炼语言表达能力，深入体验学会倾听的重要性。
（4）通过评价提升学习兴趣，体验学习的愉悦与知识的价值。
教学重点：
初步认识“圆上所有的点到固定点 O 都有相同的长度 r ”，认识圆心、半径，会用圆规画圆。
教学难点：
初步认识圆的概念。
教学片段及分析
教学片段一：提出问题，引发需求
（1）创设情境。
问题情境：我们即将迎来一年一度的读书节，本届读书节四年级学生需要围绕历史故事展开各项活动，在舞台剧表演中需要一个箭靶作为道具，之后继续使用的可能性极小，如果直接购买可能会造成资源浪费，你们能够自己尝试来制作这样一个箭靶吗？
（2）观察讨论。
观察箭靶，在一个箭靶上从里到外依次需要几个间距相等的圆？
（3）提出问题。
要画出这些间距相等的圆，首先需要一个能够用来画圆的工具，关于这个工具，你有什么想法呢？请各小组讨论，把你们的想法画下来，做一次小小设计师。小组合作，绘制设计图。
（4）交流设计。
每一组展示自己的设计，并推选一名组员进行介绍。
分析一：
根据已有的生活经验，学生通过观察很快得出要画一个箭靶，这个箭靶需要从里到外依次画几个等间隔的圆。如何得到这些圆？应该使用怎样的工具？这个画圆的工具是什么样的？制作画圆工具需要用到哪些材料？这些问题是需要学生在小组讨论的过程中集众人的智慧得到的。在交流自己的设计时，学生需要说清设计图中每个零件用了什么材料，以及在本组的设计中这个工具可以达到怎样的效果，原理是什么，从而初步感受画圆时需要一个“固定点”来保证圆不会发生移动，而所画圆的大小是由“固定长度”决定的。
教学片段二：制作工具，深入体验
1．初次尝试，发现问题
（1）尝试制作。
根据设计图，制作简单的画圆工具（如果遇到问题，可以记录在任务单上）
（2）交流问题。
怎样确定圆的位置？
怎样确定圆的大小？
怎样画圆？
怎样用一个工具画出不同大小、等间隔的圆？
2．共同探讨，解决问题
（1）怎样确定圆的位置？
结论：制作的工具要能够固定一个点。
相关知识：需要有一个定点来确定圆的位置。
（2）怎样确定圆的大小？
结论：制作的工具要有能够确定长度的部分。
相关知识：需要有定长来确定圆的大小。
（3）怎样画圆？
只要有定点和定长，旋转一周就能够成功画圆。
相关知识：定点叫作圆的圆心，可以用字母 O 来表示，定长叫作圆的半径，可以用字母 r 来表示。从圆心 O 到圆上的任意一点连起来的线段就是半径。
（4）怎样画出箭靶？
使用同一个圆心，变化半径的长度，等距离增加，就可以画出需要的箭靶。
为什么只要改变半径的长度，就可以保证圆与圆之间的距离是相等的？（因为圆上所有的点到圆心 O 的距离都是相等的。）
分析二：
本活动分为“初次尝试，发现问题”和“共同探讨，解决问题”两个部分。在“初次尝试，发现问题”的过程中，学生通过运用自己准备的各种材料，将第一环节中的设计图进行制作，在制作的过程中，需要明确所用画圆工具每个部分的功能，同时对画圆的方法提出疑问：怎样确定圆的位置？怎样确定圆的大小？怎样画圆？一开始，个别小组根据生活经验，利用了生活中有一个面为“圆”的实物进行画圆，例如，有的小组用了胶带圈，有的小组用了杯盖，还有的小组用了硬币，等等，但用这些工具仅仅能够画出固定大小的圆，无法确保画出的不同大小的圆是从里到外等间隔的。因此又引出了新的问题：如何画出等距离间隔的圆？
在“共同探讨，解决问题”环节，学生针对刚才提出的四个问题，结合工具的使用，继续展开讨论。在实践中发现问题的答案：需要有一个定点来确定圆的位置；需要有定长来确定圆的大小；只要有定点和定长，旋转一周，就能够成功画出圆。因此制作的工具要能够固定一个点，还要有能够确定长度的部分，而这就是本节课的核心知识：定点叫作圆的圆心，可以用字母 O 来表示；定长叫作圆的半径，可以用字母 r 来表示。从圆心 O 到圆上的任意一点连起来的线段就是半径，而使用同一个圆心，只需变化半径的长度，等距离增加，就可以画出等距离间隔的圆，也就能得到我们需要的箭靶了。在学习过程中，学生在脑中勾画出动态圆的效果，这是有效的空间想象，凸显了空间观念培养的本质。
学生空间概念的形成主要依靠渐进的参与过程，学习过程往往需要通过实物操作、动画演示以逐步形成并发展空间观念。在本环节的活动中，学生的主体性得到充分的发挥，在观察圆、制作工具和运用工具画圆的过程中，促使学生借助生活经验的启发，分解出实际物体的外部特征。学生能够围绕驱动问题“怎样画圆？”，积极投入小组活动中去，通过讨论、设计、交流、反思、制作、改进等活动，在体验中获得了对“圆”这一图形更深层的认识。
教学片段三：完善设计，展示交流
（1）完善设计。
有了刚才的经验总结，你能把自己的工具再完善一下吗？
（2）展示交流。
每组派代表介绍本组制作的工具是如何使用的，并说说有什么优势。
分析三：
项目化学习的结果就是要每组有一个产品，而本次活动的产品就是学生们自己设计制作的“画圆工具”——“简易圆规”。作为这个圆规的“生产厂家”，每一组需要向大家展示并推荐自己组产品，在展示交流时要求学生说说工具的使用方法和优势，并在聆听其他组介绍时适当地提出疑问和解决方案，这不仅能帮助学生对圆的相关知识有更深入的认识，而且还提升了他们的语言表达能力，增强了合作意识和探究精神。
教学片段四：评价总结，拓展延伸
经过今天的学习，你有什么收获呢？请说一说，再把你们小组的收获写在任务单上，并根据自己这节课的表现，在评价表上评一评，见表1-2。
表1-2 活动评价表
课后作业：
宣传自己小组制作成的画圆工具。
提示：可采用各自擅长的信息技术，如电子小报、PPT、短视频等。
分析四：
经过整个学习活动，学生对圆已经有了较为深入的认识，对本节课的核心知识熟稔于心，此时让学生对自己的收获进行总结，并根据量表进行评价，能够让学生及时地对自己在活动中的表现进行反思，从而加强对自我的认识。
四年级的学生在平时通过信息课、拓展课等多种途径，或多或少地都对电子小报、PPT制作、视频拍摄等信息技术手段有所涉猎。因此，在课后作业中，笔者结合“双减”政策，让学生以小组的形式通过小报、PPT、短视频等形式对自己的产品进一步宣传。虽然个别小组在自由组队时没有具备相关技术的同学，组内成员也能够为了完成项目化学习而付出努力，学习如何运用技术手段推广自己的产品，学生的信息技术能力、责任意识和团队合作意识也因此有所加强。
课后思考
学生们在日常生活中经常会接触到圆，大部分学生也接触过圆规，但他们对圆规的原理还是一知半解。因此，结合射击的箭靶盘，为学生提供驱动任务“设计一款能画出标准箭靶盘的画圆工具”，由学生自行组队，搜索资料，带着思考探究任务，不断发现问题，再通过团队合作解决问题，可提高学生数学学科的综合素养。
我们依托学校的项目化学习，在数学课堂中创设问题情境，让学生在动手操作、合作探究中提升学习数学的兴趣，在制作过程中不断发现与圆相关的知识，从而对圆有更深层的理性认识。
问题的提出是项目化学习中不可或缺的部分，这能不断引起学生学习的兴趣，提升善于钻研的良好学习习惯，而所提出的问题是否具有研究价值是学生学习的关键。在活动中，学生不断地发现问题，并想办法解决问题，在这样一次又一次的问题探究过程中，学习兴趣就悄然产生了。
通过此次基于问题的教学方法（PBL）项目化学习的尝试，笔者发现，学生在实实在在地经历了问题探究过程后，对于相关的知识能够更加深入透彻地理解和掌握。数学知识的学习不仅存在于常规的课堂中，更存在于学生的生活实践中。我们不仅要提升学生的数学学科核心素养，也要让学生在获得数学知识的同时，提高其他相关学科知识的技能。在小组活动的过程中，知识技能的习得是一方面的收获，另一方面，学生也学会了如何听取他人的意见和建议，如何正视自己的不足，肯定他人的优势，当问题冲突发生时应当如何取舍等，这对于学生的辩证思维和综合素质的提升也有着不可忽视的作用。
PBL学习对学生主动学习的要求很高，将学习与更大的任务或问题挂钩，使学生投入其中，因此把圆的学习设置到复杂的、有意义的真实问题情境中，通过小组的自主探究和合作来解决问题，从而学习了隐含在问题背后的科学知识，形成了解决问题的技能和自主学习的能力。这样的学习过程，能够较大的提升学生学习的主动性和积极性。在本节课的教学设计中，学生通过实践操作，不仅对圆有了更加深刻的认识，而且更重要的是丰富了对圆的直观经验和活动经验，空间观念在学生对圆的深入认识的基础上逐步发展起来。在活动中，学生通过手脑并用进一步提升了空间感。学生第一次使用工具尝试画圆之后总结经验进一步修改，之后用修改后的工具再次画圆，学生们再次经历从动手操作到思维整理再到抽象概括的脑力活动过程，空间感得以进一步提升。