极简逻辑史

哲学始于惊异。世界由什么组成？它来自何处？为什么我们在这儿？原始人类对这些问题的思索常常是富有想象力的，然而却是缺乏根据和非理性的。我们今天所说的哲学，直到公元前6世纪才产生，当时古希腊的哲学家们致力于探究关于世界的统摄一切的理论：世界是由某一种物质组成的吗？是否存在一种贯彻始终的原理？

我们认为苏格拉底（Socrates）和柏拉图（Plato）是西方哲学诞生时期最伟大的哲学家，今天人们依旧在研究他们。他们的伟大之处在于努力把事物带入理智秩序中来——提供（或至少去寻求）一些能够解释为什么事物会如此这般的融贯系统。不过，在苏格拉底之前，已经有一些深刻的思想家——如泰勒斯（Thales）、巴门尼德（Parmenides）、赫拉克利特（Heraclitus）、德谟克里特（Democritus）等——提出了对世界本原的各种解释，或者提出了统辖世界的根本原理。

这些早期思辨已经是理论化的，而不仅仅是猜测——但是，真正的科学尚未从中形成。武断的假设、超自然力、诸神、古代神话和传说随处可见。当哲学逐渐成熟的时候，人们才致力于去探知、去发现那些在给出各种解释时所依赖的原理。

于是就有了逻辑的发端。判断是一种能够被诉诸检验和确证的东西。而那些关于如何检验与确证判断的方法，需要辨识与精练。人们必须做关于这些东西的推理，而且人们渴望理解那些正确推理的原则。

迈出从混沌的思想进入推理的某种有序系统的第一步，是一项极其困难的事业。这项事业的第一导师是亚里士多德（Aristotle），他建立了一个可以把推理的原则精确形塑的系统。从古到今，理性的思想家们对之非常推崇。亚里士多德是第一个伟大的逻辑学家。

亚里士多德把推理视为一种基于辨识事物之类（classes）的活动。有了类，就可以去识别类与类之间的关系。进而，就可以对确认这些关系的命题进行操作。亚里士多德认为，推理的基本要素就是分类形成的种类本身，即把事物归入其中的那些范畴。于是，他区分了直言命题的类型（比如，全称肯定命题“所有Xs都是Ys”，特称否定命题“有Ys不是Xs”，等等）；以及通过对它们之间关系的理解，我们如何直接地进行推理（比如，“如果有Xs是Ys，那么就不可能没有Ys是Xs”）。更为重要的是，用不同的方法联结包含三个词项（即Xs、Ys和Zs）的直言命题，可以构造直言三段论（比如，“如果所有Xs是Ys，并且有Xs是Zs，那么必定可得出有Zs是Ys”）来进行精密的推理。利用这些技术，可以建立一个宏大的演绎逻辑系统，本书的第5、6和7章将会展示这个系统。

在亚里士多德谢世一个世纪之后，斯多亚学派哲学家克里希普斯（Chrysippus）把逻辑分析推向了更高的层次。他认为推理的基本要素不是亚里士多德所谓的范畴，而是命题。利用命题，我们可以断定或否定一些事态（“X在雅典”或“X在斯巴达”），进而可以发现这些命题之间的逻辑关系：“如果X在雅典，那么X不在斯巴达。”根据不同的关系，可以识别基本的论证：“如果X在雅典，那么X不在斯巴达。X在雅典，因此，X不在斯巴达。”这个简单的论证形式，被称作肯定前件式，它是常见且有用的；许多其他类似的基本形式也可以得到确定并应用到理性话语之中，这在本书的后面部分将会展现。

伴随着这些进展，演绎论证的有效性很快就变得清晰起来，它的坚固性在于结论可以从真前提中推出，这依赖于论证的形式（form）——它的形状（shape）而不是它的内容，或者正如逻辑学家们所说的，依赖于它的语形特征，而不是它的语义内容。比如肯定前件式，就是一种非常常见的论证形式，可以有无数的实现或例举。有效性的这种形式特征的后果一直是探究的对象。由于罗马帝国的衰落，古希腊逻辑学家的工作后来被伊斯兰学者继续，其中最著名的是阿尔-法拉比（Al-Farabi，约872—950），他在巴格达写下了关于亚里士多德的一部评论性著作，其研究广度和深度仅次于亚里士多德的著作，从而被后来者称为“第二导师”。他的追随者是伊斯兰博学人物伊本·西拿（Ibn Sina），其拉丁名字阿维森纳（Avicenna）更加广为人知。他们的学识洞悉并更新了西方思想。在12世纪的法国，由于僧侣彼得·阿伯拉尔（Peter Abelard，1079—1142）的工作，逻辑的中心兴趣又回到了语法形式。

近代英格兰最伟大的逻辑学家是奥卡姆（William of Ockham，约1288—1348）。他识别出的一些定理，后来被数理逻辑学家奥古斯都·德·摩根（Augustus De Morgan，1806—1871）予以精确形塑；本书第二部分会遇到并应用德·摩根定理。奥卡姆的主要旨趣在于试图摆脱那些无用的形而上学概念的束缚。他告诫人们：当一个术语或概念被表明不结果实时，就应当将之割掉并放弃。这条祈使性的原则，即所谓“奥卡姆剃刀”，迄今仍然是一个公共指针：在所有理性思维中，如无必要，勿增实体。

由亚里士多德的文集《工具论》所奠基，演绎逻辑认可并促进了对于人们已有知识的有力操控，而且的确极其管用。然而，对于命题及其相互关系的长期研究，并不能提供为近代学者迫切需要、被广泛探索的新知识。许多人认识到，当时的知识界需要一种新工具。弗兰西斯·培根（Francis Bacon，1561—1626）的《新工具》于1620年在英国出版。培根的方法旨在概括科学家们在研究自然时所使用的方法。被称作“经验主义之父”的培根，与天文学和医学中的其他科学革命先驱一样，并没有拒斥古典逻辑学家们的工作，而只是对他们的工作做了补充，即把使经验知识或经验真理成为可能的方法进行了形塑。人们从世界中所了解到的事实可以作为建构演绎论证的前提。这些工作是形塑归纳逻辑原理的第一大步。

进而就是把演绎与归纳统一在一个融贯的架构之中的时候了。第一本这样的逻辑教科书（《逻辑或思维的艺术》）于1662年以“波尔-罗亚尔逻辑学家”的名义匿名出版。主要作者是安托万·阿尔诺（Antoine Arnauld，他因出版与笛卡尔争辩的著作而出名）以及皮埃尔·尼科尔（Pierre Nicole）。布莱斯·帕斯卡（Blaise Pascal，1623—1662）也加盟其中。帕斯卡是一位伟大的法兰西数学家，他在青少年时期就发明了一种能运行的机械计算器。帕斯卡还是概率理论的原创者之一——概率理论也属于逻辑的范围，本书最后一章将会讨论。此后，其他的教科书也陆续出现，包括艾萨克·沃茨（Isaac Watts）的《逻辑或理性的正确使用》（1725），理查德·惠特利（Richard Whately）的《逻辑学》（1826）。之后，约翰·斯图亚特·密尔（John Stuart Mill，1806—1873）的最伟大逻辑教科书之一《逻辑体系》于1843年在英国出版。在这部著作中，人们发现和确认现实世界中因果联系的方法，第一次以缜密的方式给出。关于密尔方法和他对归纳逻辑研究的贡献，本书的第三部分将会深入讨论。

在演绎逻辑方面，又陆续出现了很多有创造性的工作。众所周知，日常语言的歧义性和不精确性是推理的一大负担。近代最伟大的思想家之一戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646—1716），试图发明一种数学化的精确符号语言来克服自然语言的缺陷，在这种语言中，概念可以得到无歧义的清晰表达。莱布尼茨（他还是微积分的独立发明者之一）设想了一种逻辑机器——利用这种机器，可以把逻辑性质的运算变得高效而精确，正如他所熟知的代数一样。他并没有发明出这种伟大的逻辑机器，但是他的这个梦想可以看作现代电子计算机的预兆。

朝向莱布尼茨设定目标的一个重大进展，来自英格兰逻辑学家乔治·布尔（George Boole，1815—1864），他在《思维规律的研究》（1854）一书中，发明了一种对命题进行精确表达和操控的通用系统。自从亚里士多德和克里希普斯之后，命题在逻辑中占据中心地位。只是伴随布尔对命题的深度分析——本书第5章对布尔解释有相当详细的讨论——一个完全相容的命题逻辑系统才终于成为可能。

在使演绎逻辑领域变得更为精确与富有成效方面，其他一些数学家与逻辑学家也做出了重要推进。其中之一是奥古斯都·德·摩根，他与奥卡姆的工作有一种间接的联系。以他的名字命名的定理，迄今仍是证明演绎论证有效性的关键逻辑工具。另一个英格兰逻辑学家约翰·文恩（John Venn，1834—1923），则设计了一个判定演绎有效性的图示程序系统。这是一个卓越的贡献。它既简单又漂亮，用图示呈现出直言命题中的词项关系。由连环圆圈组成的文恩图目前仍被广泛使用。这是一种很容易应用的装置，利用它可以给命题的意义赋予视觉之力，而三段论的有效性或无效性均可由此得以确认。本书的第二部分将会充分地利用文恩图方法。

查尔斯·桑德斯·皮尔斯（Charles Sanders Peirce，1839—1914）是最伟大的美国哲学家之一，他以实用主义运动的奠基者而闻名，但他认为自己首先是一个逻辑学家。对他来说，逻辑是一个非常广阔的研究领域，包括所有探究的方法，而形式的演绎逻辑（他对演绎逻辑做出了杰出贡献）只是逻辑的一个分支。皮尔斯说，我们是用指号（signs）进行思考的，而逻辑就是关于指号的形式理论。他引入了一些新的概念，比如包含、逻辑和，发明了一些用来表达异常的逻辑算子的符号，特别是发展了关系逻辑。之后他还参与了用电气开关电路来表达布尔代数的工作，这使得莱布尼茨所设想的逻辑机器走向现实应用迈开了关键的一步。

一个严格的命题逻辑形式系统是由日耳曼逻辑学家戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege，1848—1925）所构造的。这个系统，连同他对量化概念的发明，使他成为最伟大的现代逻辑学家之一。由于有了量化——我们将在本书的第10章进行详细解释——使得对演绎论证的一大部分可以进行精确分析，否则现代符号逻辑装置不可能如此便捷地分析这些论证。

伯特兰·罗素（Bertrand Russell，1872—1970）和阿尔弗雷德·诺斯·怀特海（Alfred North Whitehead，1861—1947）力求将演绎逻辑的这些现代工作整合到《数学原理》这部鸿篇巨制之中，这部巨作于1910年、1912年、1913年分三卷出版。利用意大利逻辑学家朱塞佩·皮亚诺（Giuseppe Peano，1858—1932）所发明的记法（加之一些调整），以及先前弗雷格所构造的逻辑系统，罗素和怀特海试图证明整个数学可以从少数几条基本的逻辑公理推导出来。本书第8、9、10章的内容主要来自罗素和怀特海的工作，间接地来自弗雷格的工作。

演绎逻辑由此持续发展。在伟大的数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert，1862—1943）带领下，公理化系统的完全性与可判定性成为20世纪一个兴味盎然的话题。库尔特·哥德尔（Kurt Gödel，1906—1978）在1929年的博士论文中，证明了一阶谓词逻辑（见本书第10章）的完全性。一年之后，哥德尔又以如下工作震动了逻辑与数学世界，他证明：对任何一个足够强大以至可以包含自然数算术的相容的公理系统，都存在不可判定命题B，使得B和～B在这个系统中都不可导出。演绎逻辑的其他方面新近也得到了研究：“模糊”逻辑与“精确”逻辑的区分得到了发展；模态逻辑，即研究必然概念和可能概念的逻辑，得到了高度发展。

但是，现代逻辑学家具有更深远影响的工作，或许莫过于可计算性概念的严格化与电子计算机的智能构造，为之做出贡献的包括阿兰·图灵（Alan Turing，1912—1954）、约翰·冯·诺依曼（John von Neumann，1903—1957）等人。不久之后，随着20世纪电子计算机的建立与逐步完善，莱布尼茨的伟大愿景终于得以实现。

以上对西方逻辑史的简单勾勒，主要是关于欧洲和北美的。当然，在这个星球的其他地方也有逻辑研究，但是我们对发生在很久以前的中国与印度的相关发现缺乏接触和准确把握。我们知道，印度在逻辑原理方面做了很多工作。奥古斯都·德·摩根就受到印度逻辑的影响；以他名字命名的定理（本书第9章将会解释），在印度也独立地发展了出来。乔治·布尔也受到过印度思想家的影响。直接推论的规则（见第5章），似乎在印度也有明确的表达，但是印度逻辑强调的是同时含有演绎因素与归纳因素的富有成效的哲学论辩，而不是形式系统。在中国，哲学家墨子（约公元前470—前391）的时代，类比推理的原理（见本书第11章所讨论）得到了发展。但是，这段历史我们难以确认，因为在公元前213年—前206年，秦朝为了清除以前朝代的痕迹而焚书坑儒，早期所做的很多工作业已失传。

从亚里士多德的《工具论》到21世纪，人们研修逻辑大多是从这本或那本书开始的。您手中的这本《逻辑学导论》，其最初的构思与书写，来自20世纪最有影响力、最深刻的思想家之一——欧文·M. 柯匹（1917—2002）。