实验，以及不断重复

让我们用尽可能简单的例子来具体化这一思想。在《理论最小值：经典力学》的第1讲中，我们的讨论始于一个非常简单的确定性系统：一枚硬币，它只能显示正（H）或反（T）两个面。我们称其为带有H和T两个态的双态系统，或者比特。更加形式化地，我们引入一个“自由度” σ ，它可以取两个值：+1和-1。H态可以表示为：

σ =+1

而T态则可以表示为：

σ =-1

在经典力学中，这就是态空间的全部内容。系统要么处于态 σ =+1，要么处于态 σ =-1，不会处于两者之间。在量子力学里，我们认为这样的系统是一个量子比特。

《理论最小值：经典力学》也讨论了一些简单的演化定律，它告诉我们态如何从一个时刻变化到另一个时刻。最简单的定律就是没有任何变化，如果我们从某个离散的时刻 n 进行到下一个时刻 n +1，演化的规律可以写作：

现在让我们挖出在《理论最小值：经典力学》中未被关注的隐藏假设：一次实验中涉及的东西超出被研究的系统本身，还包括了用于测量的仪器 和测量结果的记录。对于双态系统来说，仪器会和（自旋）系统相互作用，并记录 σ 的值。把仪器想象成一个黑箱 ，黑箱有一个用来显示测量结果的窗口，外边还有一个向上的箭头。向上的箭头很重要，它表示了仪器自己在空间中的指向，而这个指向将会影响测量结果。我们先让它指向 z 轴方向（如图1-1所示）。初始时，我们并不知道是 σ =+1还是 σ =-1，我们的目的就是做一个实验来找到 σ 的取值。

在仪器和自旋发生相互作用之前，窗口是空白的（在图中标记为问号），当对 σ 进行了测量之后，窗口显示出+1或者-1。通过读取仪器，我们就能测量出 σ 的数值。这一整套过程就构成了一个用于测量 σ 的非常简单的实验。

现在我们已经测量过一次 σ 了，然后把仪器重置到初态，而不去扰动自旋，再次测量 σ 的数值。假设演化定律遵从公式1-1，我们应该得到和第一次相同的结果。如果之前为 σ =+1，第二次还是 σ =+1；反之都是 σ =-1。无论重复多少次测量，结果都将是一样的。这是件好事，因为可以用这种方法来确认实验的结果。换句话说就是：与仪器 的第一次相互作用把系统制备到了两个态中的一个，后续的实验则确认了这个态。到目前为止，经典物理学和量子力学之间还没有差别。

接下来让我们玩点新东西。在使用仪器 测量自旋，也就是制备好系统之后，我们将仪器倒置，再次测量 σ （如图1-2所示）。如果原先制备的是 σ =+1，我们会发现倒置的仪器测量的结果是 σ =-1。类似地，如果原先是 σ =-1，倒置的仪器记录的是 σ =+1。换句话说就是，倒置仪器使得 σ =+1和 σ =-1发生对换。根据这些结果，我们可以得出结论： σ 是一个与空间方向相关的自由度。举例思考，假如 σ 是某种带指向的矢量，那么我们很自然地期待倒置仪器会得到一个相反的读数。有一个简单的解释是：仪器所测量的正是矢量在该仪器内嵌方向轴上的分量。但这样的解释在所有的情况下都说得通吗？

如果我们认定自旋是一个矢量，那我们就可以很自然地使用三个分量 σ _x 、 σ _y 和 σ _z 来描述它。当把仪器指向上方时，我们就是在测量 σ _z 。

到目前为止，量子力学和经典力学之间还没有差别。只有当我们把仪器转动到某个任意的角度时差别才出现，比如弧度π/2（90°）。仪器在开始时指向上方（向上箭头指向 z 轴方向），自旋被制备到 σ =+1。接着转动仪器 使得向上箭头指向 x 轴方向（如图1-3所示），这自然是在测量自旋的 x 分量 σ _x 。

如果 σ 真的代表一个矢量在向上方向上的分量，那结果应该为0。为什么呢？起始时我们可以确定 σ 是指向 z 轴方向的，自然说明它在 x 轴上的分量为0。但令我们惊讶的是，我们测出的 σ _x 并不是 σ _x =0，而是 σ _x =+1和 σ _x =-1两者中的一个。无论仪器 被转到了什么方向，它都绝对不会给出 σ =±1之外的任何答案。如果自旋真的是个矢量的话，那也算是非常奇特的一个了。

尽管如此，我们还是发现了一些有趣的东西。假定我们依照下列步骤重复操作很多次，即：

·　开始时 指向 z 轴方向，制备到 σ =+1。

·　把仪器旋转到 x 轴的方向。

·　测量 σ 。

重复这个实验，仪器将吐出一串包含+1和-1的随机序列。也就是说，决定论（determinism）被打破了，而且是以一种特别的方式打破的。如果我们重复的次数非常多，就会发现 σ =+1的事件数和 σ =-1的事件数在统计上是一样多的。换句话说， σ 的平均值是0。经典的结果应该是 σ 在 x 轴上的分量为0，我们发现这个结论要被取代，变成：多次重复实验的平均值为0。

现在，我们把整个过程再做一遍，这次我们把 转到 x 轴之外的一个任意方向上，记作单位矢量 。在经典力学中， σ 是个矢量，我们可以期待实验的结果是 σ 在 方向上的分量。如果 与 z 轴的夹角是 θ 的话，经典的答案将是 σ =cos θ 。你可能猜到了，每一次我们的实验结果都是 σ =+1或者 σ =-1，但它们的统计结果会偏重于其中之一，其平均值为cos θ 。

当然，条件可以放得更宽些。我们可以不限制 的初始方向。随便选一个方向 ，并将向上箭头指向这个方向，制备一个自旋，使仪器的读数为+1，然后在不扰动自旋的情况下将仪器旋转到 方向（如图1-4所示）。对于相同的自旋，每次实验都会给出一个随机的结果±1，其平均值是 与 夹角的余弦，也就是说，平均值为 ^[1] 。

量子力学中标记一个物理量 Q 统计平均值的方法是使用狄拉克符号（Dirac’s bracket） 〈 Q 〉。利用它，我们可以这样来描述实验和结果：如果开始时 指向 的方向，并且确认了 σ =+1，然后 指向 ，测量的统计结果写作：

至此，我们学到了量子力学系统是非确定性的，这意味着实验的结果可能是随机的，但在重复一个实验很多次之后，物理量的平均值，至少在一定程度上可以符合经典物理学的预期。

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[1] 点积是一个矢量在另一个矢量方向上的投影，对单位矢量 和 来说，即为它们夹角的余弦。——译者注 kVtrbFSM9k0CebZw3GKV3fxatYfsIVYc5SKk8c3dbHcCd39UfycrOxX8whh6n4/N